CH.CO = R

Donc la droite IH est la polaire du point 0. Il résulte de là : i*' que la polaire IH d'un point quelconque 0 de la droite XY passe par le pôle I de cette droite; a" que le pôle I d*une droite quelconque XY passmt par un point 0 est située sur la polaire IH de ce point.

Corollaire.

340. ToiUe droite a pour pôle l'intersection ries poUtires de dciur de ses points. Tout point a pour polaire In droite qui joint les pôles de deu,r droites menées par ce point,

THÉORÈME

341 . »Sï, par un jx)int 0 pris dans le plan d'un cercle, on mène deux transversales OAB, OA'B', qu'on tire les droites AA', BB', qui se coupent en M, et les droites AB', BA', qui se coupent en N, le lieu géométrique des points M <?/ N, hrsqu'^on fait varier les sécantes OAB. OA'B', est la fxttaire du jtoint 0 [fig. 2i5 et ai6).

Fig. 115.

En effet, si l'on tire MN et si Ton nomme I et V les points où ctHle

2l6 GfiOaÉTRIli PLANK.

droite coupe AB e^ X'B', on voit, en considérant le quadrilatère complet

Fig. ai 6.

MB'NÂ'BÂ, que les systèmes OATB', OAIB, sont harmoniques (334), donc les points M et N sont sur la polaire H' du point 0.

Corollaires.

342. Ce théorème offre un moyen simple de construire avec la règle seule la polaire MN d*un point 0 par rapport au cercle.

343. Dans le triangle MNO, chaque côté est évidemment la polaire du sommet opposé. Donc, eians toia quadrilatère inscrit à un cercle y le point d'intersection des diagonales et les points €le concours des côtés opposés forment lut triangle dont chaque sommet est le pôle du côté opposé.

344. Si la transversale OAB tend vers OA'B', les droites AÂ', BB', deviennent les tangentes au cercle en A' et B'. Donc, si, par un point 0 pris dans le plan d'un cercle, on mène une sécante OA'B' et les tan^ gentes A'T, B'T, aux points A' et B' où elle coupe le cercle, le lieu géométrique du point de concours T de ces tangentes, lorsque la transpersfde tourne autour du point 0, est Ut jiolaire du point 0.

Par suite, si Ton mène des tangentes au cercle par les sommets du quadrilatère inscrit ABB'A', on forme un quadrilatère circonscrit qui, après avoir été complété, a pour diagonales les trois côtés indéûnis du triangle MNO. Donc, (lans toia quadrilatère circonscrit à un cercle, les trois diagonales forment un triangle dont chaque sommet est le pôle du côté opf}osé, EnGn, en réunissant cette dernière propriété à celle du n*" 343, et en ayant égard au théorème du n*" 334, on arrive à cet énoncé gêné-

rai : Si ron inscrit à un cercle un quadriiaière quelconque et qu*on lui en circonscrive un autre dont les côtés touchent le cercle aux sommets du premier: i^ les diagonales intérieures des deux quadrilatères se cou-' peni en un. même point et forment un faisceau futrmonique; a** les troisièmes diagonales sont situées sur la même droite, et leurs extrémités forment une série de quatre [x^nts harmoniques; 3* l'intersection de deux diagonales quelconques est le pôle de l'une des trois autres. Les anciens ont probablement connu ces diverses propositions.

Métliode des polaires réciproques,

345. Un polygone quelconque ABCDE étant donné, si l'on prend, par rapport à un cercle quelconque 0 de son plan, les polaires Â'B', B'C\ CD', D'E', E'A', de ses divers sommets, on obtient un second polygone A'BX'D'E' dont les sommets A', F, C, D', E', sont les pôles des côtés £A, AB, BC, CD, DE, du premier. En effet, le sommet de Tangle C, par exemple, a pour polaire (340) la droite BC qui joint les pôles B et C des deux côtés C'B, CD', de cet angle. Ainsi, on peut considérer le second polygone A'B'C'D'E' comme obtenu, soit en prenant les polaires dos sommets du premier polygone , soit en prenant les pôles de ses côtés. Et inversement, si l'on cherchait les pôles des côtés ou les polaires des sommets de la seconde figure, on retomberait sur la première.

Ces deux polygones sont dits pokdres réciprotpies par rapport au cercle 0 qui reçoit le nom de cercle directeur. Tels sont, par exemple, un polygone quelconque inscrit dans un cercle et le polygone circonscrit formé en menant des tangentes par les sommets du polygone inscrit [fig, 217).

Fig. 217.

346. Considérons en second lieu une courbe quelconque ABC {fig, ai 8). En prenant, par rapport à un cercle qnelconque 0 situé dans son plan, 1rs pôles A', B',. • •? des diverses tangentes MA, MB,. . ., on (btient une

3l8 GfiOHfiTRlB PLANE.

nouvelle courbe A'B'C, dont les tangentes N'A', N'BV-i sont les polaires des points A, B,. . ., de la première. En effet, le point d'intersection des tangentes BIA et MB a pour polaire (340) la corde A'B'; et lorsque B tend vers A, la corde A'B' et le point M, qui sont toujours Tun à lautre polaire et pôle, tendent respectivement vers la tangente A'N' et vers le point A. Ainsi, on peut considérer la seconde courbe A'B'C comme obtenue, soit en prenant les pôles des tangentes, soit en prenant les polaires des points de la première courbe ABC. Dans la seconde manière d'opérer, la courbe A'B'C est définie par ses tangentes successives dont on dit qu'elle est Venveloppe. Inversement, si Ton cherchait les pôles des tangentes ou les polaires des points de la seconde figure, on retomberait sur la première. Ces deux courbes sont dites polaires réciproques par rapport au cercle directeur 0. Le rayon du cercle directeur est d'ailleurs (338) moyen proportionnel entre les distances de son centre a un point quelconque ilc Vune des courbes et à la tangente corresjMndante de P autre courbe. Ainsi , la polaire réciproque d'un cercle concentrique au cercle directeur est un autre cercle concentrique, et le rayon du cercle directeur est moyen proportionnel entre les rayons des deux autres cercles. En particulier, le cercle directeur est à lui-même sa polaire réciproque. Lorsque le cercle considéré n'est pas concentrique au cercle directeur, sa polaire réciproque n'est plus un cercle, comme nous le montrerons plus tard.

347. Cela posé, voici en quoi consiste la méthode des polaires réciproques :

Une figure quelconque étant donnée, si Ton forme sa polaire réciproque par rapport à un cercle directeur, on obtiendra une nouvelle figure corrélative de la première, c'est-à-dire telle, que ses points et ses droites seront respectivement remplacés par des droites et des points. Ainsi, à une série rectiligne de points dans l'une des figures répondra dans l'autre un faisceau de droites, et réciproquement; à des points en ligne droite sur la première courbe, répondront autant de tangentes issues d'un même point et menées à la seconde courbe ; le point d'intersection de plusieurs courbes sera remplacé par une tangente commune aux courbes corrélatives, etc.... Toute propriété descriptive, c'est-à-dire n'ayant rapport qu'à la situation des lignes, indépendamment de toute condition de grandeur, conduira à une autre propriété de la figure polaire réciproque, que l'on pourra énoncer immédiatement d'après ce qui précède, et qui sera par là mémo démontrée. Il n est pas même nécessaire de construire la figure; il suffît, pour passer d'un énoncé à l'autre, de remplacer les mots points et lignes par les mots lignes et points.

C'est ainsi que l'un des deux théorèmes (320, 321) sur les triangles homologiques résulte *de l'autre, que la propriété de i'heiLagone circonscrit, due à Brianchon, résulte du théorème de Pascal sur l'hexagone inscrit (322, 323), etc. Toute conséquence de l'un de ces deux derniers

théorèmes doit aussi conduire à une conséquence corrélative de l'autre: voici quelques exemples :

Dans tout pentagone inscrit dans \ Dans tout pentagone circonscrit un cercle, le point de concours de la , à un cercle, la droite qui joint un

tangente menée par un sommet et du côté opposé, et les points de concours des autres côtés non con^

sommet au point de contact du côte opposé et les diagonales joignant les autres sommets non consécutifs.

sécutifs, sont trois points en ligne sont trois droites qui se coupent au droite. même jx>int.

Dans tout fjuadrilatère inscrit Dans tout quadrilatère circondans un cercle, si l'on mène des tan- scrit à un cercle, si l'on prend les gentes par deux sommets adjacents, 1 /joints de contact de deux côtés adle point de concours de chacune jaccnts et (jue l'on joigne le point d'elles avec le côté passant par le fie contact de chaque côté avec le point de contact de Vautre, et le 1 sommet de l'autre côté, et les deux point de concours des deux autres autres sommets opposés , on aura côtés , sont trois jjoints en ligne trois droites se coupant au même droite. j ixnnt.

Dans tout quadrilatère inscrit ' Dans tout (quadrilatère circondans un cercle, lesjyointsde concours I scrit à un cercle, les deux diagonales des tangentes menées par les som- 1 et les droites qui joignent les points mets opposés, et les points de con- ^ de contact (les côtés opfxtsés , sont cours des côtés opposés^ sont quatre quatre droites se coupant au même

points en ligne droite.

D<ms tout triangle inscrit dans un cercle, les points de concours de cfiaque côté avec la tangente menée par le sommet opposé, sont trois points en ligne droite.

point.

Dans tout triangle circonscrit à un cercle, les droites qui joignent le point de contact de chaque côté avec le sommet opposé^ se coupent au même point.

Les théorèmes de la colonne de gauche sont dos corollaires du théorème de Pascal ; ce théorème étant en effet indépendant de la longueur des côtés de l'hexagone inscrit, subsiste lorsque l'on remplace quelquesuns de ces côtés par dos tangentes à la circonférence. Les théorèmes de la colonne de droite résultent do ceux de la colonne de gauche, d'après la théorie des polaires réciproques.

On peut aussi considérer les théorèmes do la colonne de droite comme des corollaires du théorème de Brianchon, dans lequel on suppo o certains angles égaux à deux droit"^, et les théorèmes de la colonn*' de gauche comme résultant alors de ceux de la colonne de droite, d'après la théorie des po'aires réciproques.

C'est surtout à propos des coniques qu on pourra voir toute la fécondité de cette belle méthode des polaites récipiot^ues. due au général

Poncelet. Toutefois, il faut remarquer que cette théorie, si utile comme méthode (invention, puisqu'elle permet, suivant la piquante expression de Gergonne, de faire en quelque sorte de la géométrie en partie doidfle, a, comme tous les procédés de transformation, rinconvénienl de laisser ig;norer comment la proposition qne Ton découvre se rattache à une théorie, et comment on pourrait sV prendre pour la démontrer directement. « En généra], comme le remarque M. Chastes, il ne suffit pas qu*une proposition soit vraie pour qu'on puisse en faire un usage utile en mathématiques, il faut encore connaître toutes ses dépendances avec les diverses propositions qui se rattachent au même sujet, d

•i48. Nous terminerons cet aperçu par quelques mots sur la transformation des propriétés métriques, c'est-à-dire des propriétés dans lesquelles on a égard non-seulement à la situation des lignes, mais encore à certaines relations numériques entre les angles ou les segments des diverses lignes de la figure.

D^abord, les propriétés métriques angulaires se transforment simplement par la théorie des polaires réciproques, au moyen du principe suivant :

L'angle de deux droites est égal à l'angle fies droites qui joignent leurs fjôles au centre élu cercle directeur, car ces deux angles ont les côtés respectivement perpendiculaires.

Gomme exemple, transformons cette proposition si connue : Dans tout triangle ABC, les hauteurs A^7, B6, Cr, se coupent au même point I.

Soient 0 le centre du cercle directeur, et A'B'C le triangle polaire réciproque de ABC, A' étant le pôle de BC, B' celui de GA et C celui de AB. Les trois hauteurs A^, B^, Ce, se coupant au même point I, leurs pôles a, 6, 7, doivent être sur une même droite, polaire de I. Or, le pôle a de A a doit se trouver d'une part sur BX' polaire de A, et de l'autre sur la perpendiculaire menée par 0 à la droite OA', puisque, en vertu du principe énoncé plus haut, l'angle aOA' doit être droit comme l'angle AaB des |)olaires Aa, BC, des points x et A'. On a donc ce théorème :

Si Von joint un point fixe 0 pris arbitrairement clans le plan d'un triangle X'B'C auj> trois sommets A', B', C, les perpendictdaires menées par ce point 0 aux trois droites OA', OB', OC', ainsi obtenues, vont coU' per respectivement les côtés opposés WQJ, C'A', A'B', en trois /x}ints a, 6, y, situés en ligne droite,

349. Quant aux relations segmentaires, on en transforme un assez grand nombre à l'aide des deux principes suivants :

i^ Le rapport anfiarnwnique de quatre joints situés en ligne droite dans une figure est égal au rapport an/utrmonique du faisceau des quatre droites correspondantes de la figure polaire réciproque, car ce faisceau et celui qu'on obtient en joignant les quatre points au centre du cercle directeur, ont respectivement leurs angles égaux, d'après le princifie du n°348.

AO a* Le rappttrt =pr- des distances de deux points quelconques X et h nu

AM centre 0 du cercle directeur est égal nu rapjjort -^ des distances de

chacun de ces points à la /x>laire de l'autre (fig. 219). Car A'N étant la

Fig. 219.

polaire de A et B'M celle de B, menons AC perpendiculaire sur OB et BD perpendiculaire sur OA; nous aurons, en dééignant par R le rayon du cercle directeur,

R'=OA.OA'=:OB.OB', d'où gj = §|i- Mais BD et AC étant anti -parallèles par rapport à Tangle 0, on a

OA.OD=OC.OB, d'où ^=§§;

par suite,

OA . OB^-hOC CBT AM OB ~ OA'-f OD ~ DA' "" BN "

350. On déduit, par exemple, bien simplement du premier princi|X' que le rap/fort an/utrmonique de quatre tangentes d'un cercle est égal au rap/jfjrt an/iarnionique des quatre points de contact. Nous nous bornerons à cette application; mais on sentira aisément la portée de ce pre-

GA mier principe en remarquant qu'il sert à transformer le rapport p^ des

deu\ segments formés par trois i)oints quelconques A, B, C, en ligm* droite. En effet, l'introduction du point situé à l'infini sur^cette droite permet de considérer ce rapport comme égal au rapport anliarmonique ( A, B, C, 00 ); si donc on désigne par A', B', C, les polaires des points A, . B, C, par D' la polaire du point à l'infini, et par a, 6, 7, ^, les points où une transversale choisie à volonté rencontre le faisceau de ces quatre droites, on aura

^-(ABC»)^(ae./o*)-p:'J.

a?.2 GÉOMfiTEIB PLANI.

35i. Le second principe est dû à M. Salmon. En voici une application: ABCD étant un quadrilatère inscrit dans un cercle de centre 0 et de rayon R, et M étant un point quelconque de ce cercle, on a l'identité

(MA.MB] (MC.MD) = (MÂ.MD) (BfB.MC).

D'ailleurs^ si ME, MF, MG, MH, sont les perpendiculaires abaissées de M sur les côtés AB, BG, CD, DÂ, du quadrilatère, les produits renfermés entre parenthèses sont respectivement (239) proportionnels à ME, MG, MH, MF; on a donc

(i) ME.MG = MH.MF,

c'est-à-dire que, dans tout quadrilatère inscrit dans un cercle^ le pro' duit des distances d'un point quelconque de la circonférence à deux côiés opposes y est égal au produit des distances du même point aux deux autrès côtés. Transformons ce théorème par la méthode des polaires réciproques; le cercle 0 étant pris pour cercle directeur, au quadrilatère inscrit ABCD répondra le quadrilatère circonscrit A'BX'D', et au point M la tangente MT en ce point. Soient A'L, B'N, C'P, D'Q, les distances des sommets A', B', C, D', à la tangente MT. Puisque A' est le pôle de AB et M le pôle de MT, on aura, par le principe de M. Salmon,

MB MO ., w« MO .„ __^, dou ME=j^.AL.

Ainsi, les lignes ME, MG, MH, MF, sont respectivement proportionnelles aux distances A'L, C'P, D'Q, B'N, et la relation (i) devient

c'est-à-dire que, dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle , le protluit des distances de deux sommets op/x)sés à une tangente quelconque, est dans un rapport constant avec le produit des distances des deux autres sommets à la même tangente.

Le théorème sur le quadrilatère inscrit peut s'étendre à un polygone inscrit quelconque d'un nombre pair de côtés. En effet, si P est un polygone inscrit de in côtés, et P' le polygone inscrit de in — a côtés qu*on obtient en détachant de P un quadrilatère au moyen d'une diagonale, on voit tout de suite que, si le théorème a lieu pour le polygone P' de a« — a côtés, il subsiste jwur le polygone P de in côtés.

On peut même appliquer le théorème à un polygone quelconque, en marquant qu'on peut considérer tout polygone inscrit comme ayant un côté inHniment petit dirigé suivant la tangente en l'un des sommets.

De là résultent les deux propositions suivantes, en regard desquelles

nous avons placé les deux propositions corrélatives qui en découlent d'après la méthode des polaires réciproques.

Quand un polygone d'un nombre Quand un polygone d'un nombre pair de côtés est inscrit dans un ccr- i pair de côtés est circonscrit à un cle, les produits des distances d'un cercle, le prodidt des distances des point quelconque de la circonfé- sommets de rangs pairs à une tanrenée aux côtés de rangs pairs, est , gcnte quelconque, est dans un rapégal au produit des elistances du 1 port constant avec le produit des même point aux côtés de rangs im- . distances des sommets de rangs im*

patr^.

Quand un polygone est inscrit dans un cercle, le produit des distances d'un point quelconque de la circonférence aux divers côtés, est égal au produit des distances du même point aux tangentes menées par les sommets du polygone.

pairs à la même tangente.

Quand un polygone est circoncrit à un cercle, le produit des distances de ses sommets à une tangente quelconque, est dans un rapix}rt constant avec le produit des distances des points fie contact des côtés à la même tangente.

Figures homot/iéliques .

352. Étant donné un système quelconque Â, B, G,. . ., de points situés dans un plan [fig. a^o et aai), si, sur les rayons SA, SB, SC,. . ., issus

Fig. 3Q0. Fig. 331.

d'un point S choisi arbitrairement dans le plan, on prend à partir de ce point des segments SA', SB', SC', . . . , tels, qu'on ait