SA

SA

sb;

SB

se;

se ''

K étant un nombre quelconque, on dit que le nouveau système de points

A', B', C, . . . , est homothétique au système primitif ABC,

Le point S est dit le centre, et le nombre K, le rapport d'homothétie. Si K est positif, les deux segments SA et SA' sont de même sens, et les points A et A' sont d'un même côté du point S {fig\ aao). Si K est négatif, les segments SA et SA' sont de sens contraires, et les points A et A' sont de part et d'autre du point S {fig» 221); dans le premier cas [fig, 220) les deux systèmes sont dits homothétiques directs; dans le

second {fig, tttti), ils sont homotl*étiqucs im^crses. Quand deux systèmes sont homothétiques inverses, il suffit évidemment, pour les rendre homethétiques directs, de faire tourner lun d'eux de i8o degrés autour du centre S. On obtient donc tous les systèmes homothétiques à un système donné en faisant varier la position du centre S et en donnant à K toutes les valeurs positives de o à ».

353. Suivant que les points du premier système ABC... sont isolés ou forment des lignes continues, les points du système homothélique A'B'C. . . sont à leur tour isolés ou forment des lignes continues.

Supposons, par exemple, que la figure primitive soit une circonférence OA dont le centre est 0 [fg. aaa), et cherchons la figure homothétique.

Cl /

c'est-à-dire le lieu des points A', lels, que -^-^ = K. Si l'on prend sur SO

SO' une longueur SO' telle, que ^ = K, les deux triangles semblables (206 )

O'A' SOA, SO'A', donnent -ttt- = K; i>ar suite O'A' est constant comme OA,

et le lieu est une circonférence dont le point 0' est le centre. Ainsi la figiif'c homothétifjiœ dUinc circonférence est une circonférence .

THÉORÈME

354. Dans deux systèmes homothétiques, la droite AB qui joint deux points quelconques du premier système et la droite A'B' qui joint tes lioints homologues du second système, sont fHtraUèles et dans le rapjtort K [fig. aïo et 221 ).

En effets les droites AB et A'B', divisant les rayons SA et SB dans le même rapport K, sont parallèles (190), et l'on a en outre (204)

a;b; sv