SO^ . S

SO • SjO ~" **

Donc les deux centres d^homothétie divisent liarmoniquement Ui ligne descentres 00' des deux cercles.

Les tangentes communes extérieures passent par le centre d'homothétie directe, et les tangentes communes intérieures par le centre d'homothétie inverse. C'est sur cette propriété qu'est fondée la construction du n*» 252.

Lorsque les deux cercles sont tangents, leurs points de contact sont un centre d'homothétie, directe si le contact est intén'etir, inverse si le contact est extérieur.

THÉORÈME

361 . Deux systèmes P' et P" homothétiques à un troisième P, sont homothétiques entre eux [fig. %iZ et 224).

Soient  un premier point du système P^ et Â' et Â" ses points homologues dans les systèmes P' et P". Joignons le point  à un point quelconque M du système P, et joignons â' et A" aux points M' et M" homologues de M dans les systèmes P' et P". Les systèmes P' et P étant homothétiques, les droites A' M' et AM seront parallèles et dans un certain

rapport K'; de mdme^ les droites Â'M' et ÂM seront parallèles et dans le rapport K' d'homothétie des systèmes P* et P. Donc, les droites A' M' et

FIg. 2a3, Fig. aa^.

A' M" sont parallèles, et dans le rapport constant rr-,* Donc (358), les

systèmes P' et P" sont homothétiques.

Corollaires.

362. Si K' = K', les systèmes P' et P" ont un rapport d'homothétie égal à Tunité; ils sont donc superposables. Il résulte de là que, pour avoir tous les systèmes homothétiques à un système donné, il n*est pas nécessaire de faire varier le centre (352) : il suffit, en conservant le même centre, de faire varier K de zéro à Tinfini.

363. Si P est homothétique direct avec chacun des systèmes P' et P", AM et A' M' sont de môme sens, comme AM et A' M", et par suite aussi A' M' et A'M"; de sorte que P' et P" sont homothétiques directs

On verra de même que si P" est homothétique inverse avec chacun des systèmes P et P', P et P' sont homothétiques directs {flg, 224).

Si P est homothétique direct avec Tun des systèmes P' et P", et homothétique inverse avec l'autre, P' et P' sont homothétiques inverses (y%'.2a4).

Parmi les trois systèmes homothétiques ainsi formés, il y en a donc toujours un nombre impair (1 ou 3) dont Thomothétie est directe.

Dans tous les cas, les trois centres d'homothétie S, S', S", sofit en ligne droite (fig* 223 et 224).

En effet, la droite S'S", considérée comme appartenant au système P, a pour homologue dans le système P' cette droite elle-même, puisque (355) elle passe par le centre d'homothétie S' de P et de P\ Cette droite, considérée comme appartenant au système P, est aussi à elle-même son

homologue dans le système P", puisqu'elle passe par S', centre d'homothétie de P et de P". Donc, cette droite S' S' (335) passe par le centre S d'homothétie des systèmes P' et P".

364. Trois cercles considérés deux à deux ont trois centres d'homothétie directe et trois centres d'homothétie inverse (360). Les Irois centres d'homothétie directe sont sur une même droite (363), qu'on nomme axe ri'homotliétie directe. De môme, deux centres d'homothétie inverse et le centre direct qui répond au troisième centre inverse sont sur une même droite qu'on nomme axe cr/iomothètie inverse; il y a, d'après cela, trois axes d'homothétie inverse.

Définition générale de la similitude, — Méthode des fijgures semblables»

365. Pour étendre aux figures curvilignes la notion de la similitude, il faut prendre pour point de départ une propriété essentielle des polygones sen^blables qui soit immédiatement applicable aux courbes. Voici comment on parvient à faire cette généralisation :

I* Deux polygones semblables P et P' étant donnés dans un plan^ on peut toujours amener le polygone P' à avoir ses côtés parallèles aux côtés homologues de P.

En effet, soit ABCOE le polygone P. Supposons qu'un mobile partant du point A décrive le contour ABCDE, en suivant l'ordre alphabétique. Un observateur placé à l'intérieur du polygone, les pieds appuyés sur son plan, verra le mobile marcher de sa droite à sa gauche ou de sa gauche à sa droite; supposons, pour fixer les idées, que l'observateur voie le mobile marcher de gauche à droite [fig. aaS).

FIg. 235.

Cela étant, le polygone P', semblable au polygone P et situé dans son plan, pourra offrir deux dispositions différentes; il pourra être, comme

A'B'C'D'E', tel, qu'un 'observateur placé dans son intérieur voie marcher de gauche à droite un mobile qui, partant de Â', décrirait son contour dans l'ordre alphabétique, ou bien être, comme A,B,C,D,E,, tel, que l'observateur placé dans son intérieur voie marcher de droite à gauche un mobile qui décrirait, dans Tordre alphabétique, le contour A, B,C,D,E,.

Dans le premier cas, on voit sans aucune difficulté que deux côtés homologues quelconques des deux polygones ABCDÉ, A'B'G'D'E', font toujours le même angte a, de sorte qu'en faisant tourner le polygone A'B'C'D'E' autour de A' de cet angle a, on amènera ce polygone à avoir ses côtés parallèles aux côtés homologues du polygone ABCDE, et de même sens. Une rotation de iSo""— a amènerait le polygone A'B'C'D'E' à avoir ses côlés parallèles aux côtés homologues de ABCDE, mais de sens contraire.

Dans le second cas, en prenant le symétrique de A,B,C,DjE, par rapport à un axe quelconque XY, c'est-à-dire en rabattant ce polygone A, B,C,D,E, autour de cetaxe, on obtiendra évidemment un second polygone A'B'C'D'E', qui présentera^ relativement au polygone ABCDE, la même disposition que dans le premier cas. Un rabattement suivi d'une rotation amènera donc alors le polygone A,B,C,D|E, à avoir ses côtés parallèles à ceux de ABCDE.

2*^ On a vu que deux polygones semblables qui ont les côtés parallèles sont homolhétiques (359). Deux polygones semblables peuvent donc, d après cela, être rendus homothétiques ; et rôciproquement,Ma figure, homothétique d'un polygone est un polygone semblable au premier (356).

Par suite, pour qu'un polygone P' soit semblable à un autre polygone P, il faut et il suffit que ce polygone P' soit égal à l'un des homothétiques de P.

Voilà donc une propriété caractéristique des polygones semblables. D'ailleurs, la définition de l'homothétie est immédiatement applicable aux figures curvilignes (352). On est ainsi conduit à cette définition générale :

On dit (\\x^ une figure est semblable à une autre lorsr/u\'lle est égale à Vune des figures homothétiques fie cette autre.

On comprend d'après cela pourquoi on donne, en général, les noms de centres de similitude, d'axes de similitude et de rapport de similitude aux centres, aux axes et au rapport d'homothétie.

366. Nous avons déjà prouvé par de nombreux exemples (§§ III et suiv.) combien la théorie des figures semblables offrait de ressources. Le théorème de Thaïes sur la proportionnalité des côtés homologues des triangles équiangles, le théorème de Pytliagore sur le carré de l'hypoténuse, sont, en Géo.métrie, deux propositions fondamentales qui interviennent sans cesse dans les démonstrations. Mais, indépendamment de ces applications générales de la théorie de la similitude, elle fournit un

^3o GÉOMÉTEIB PLANE.

procédé spécial de résolution des problèmes, coiînu sous le nom de méthode des figures semblables, et qui consiste à construire, à Taide des données, une figure semblable à celle que Ton cherche. On passe ensuite aisément de la figure ainsi construite à la figure demandée, en comparant certains éléments des deux figures.

Voici deux exemples :

1 *• Construire un triangle ABC, connaissant ses trois hauteurs a, Ç, 7 [fig. aa6).

</, 6, c, étant les côtés du triangle inconnu, et BD et ÂE étant les hauteurs 6 et a, les triangles semblables CBD, CAE, donnent

On aurait de même

On peut donc écrire

Si Ton construit alors

un triangle A'B'C dont les trois côtés soient