BC
ce triangle sera semblable au triangle ABC, et pour avoir ce dernier triangle, il su/fira de prendre sur la hauteur issue du sommet B une longueur BD = ^, et de mener par le point D une parallèle AC à A'C.
Fig. 226. Fig. 237.
•2° Inscrire dans un triangle donné ABC un triangle dont les côtés soient parallèles à ceux d'un triangle donné de f [fig, ^27).
Si l'on trace dans le triangle ABC une parallèle d'f à df, puis par les points d' et /'des parallèles d'e\f'e\ à de et à ef^ on formera un triangle d'f'e', homolhétique au triangle cherché DFE, et le point A sera pour ces triangles un centre de similitude directe (359). La droite A^-' coupera doncBC en un point E qui sera l'un des sommets du triangle
LIYBE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. a3l
demandé, et il ne restera plus qu*à mener par oe point E des parallèles KD et EF, à ed et e/, et à joindre les points D et F.
367. A ce procédé, s'en rattache un autre où Ton opère par inversion, c'est-à-dire qu*on renverse la question en prenant les données pour inconnues, et réciproquement. En traitant ce nouveau problème, on obtient une figure semblable à la figure cherchée, et, pour la construire, il suffît alors d'en connaître une seule ligne.
Voici un exemple :
Inscrire dans un quadrilatère donné ABCD un quadrilatère n'b'c'd' semblable à un autre quadrilatère donné I^'B' CD' (j^g. 228).
La méthode inverse sera ici évidemment préférable à la méthode directe, parce que s'il s'agit de circonscrire une figure semblable au lieu de l'inscrire, les segments capables, décrits sur les côtés du polygone donné, fournissent immédiatement des lieux géométriques des sommets du polygone à construire.
Renversons donc la question, et proposons-nous de circonscrire à un quadrilatère donné A'B'C'D' un quadrilatère abcd semblable à un autre quadrilatère donné ABCD.
Les angles du quadrilatère abcd étant donnés, les sommets a, b, d, appartiennent aux segments capables de ces angles, décrits sur les côtés A'B', B'CA'D'.
De plus, le quadrilatère abcd étant semblable au quadrilatère ABCD, le triangle abd est lui-même semblable au triangle ABD, et l'on connaît les angles abd^adb. Comme ces angles ont pour mesures, le premier la moitié de l'arc B'^', le second la moitié de l'arc AV/', on pourra marquer sur les arcs B'C et A'D' les points 6'el^': la droite b'd' sera donc déterminée, pl ses seconds points d'intersection avec les segments décrits sur B'C et sur A'D' seront les points b et d. Ayant ainsi deux sommets opposés du quadrilatère abcd^ le problème inverse se trouvera résolu.
Pour revenir au problème direct, on n'aura plus qu'à diviser les côtés
332 GiOMÉTRIE PLANE.
du quadrilatère ABCD dans d^s rapporta égaux à ceux des segments que les points A', B', C, D', déterminent sur les côtés du quadrilatère abcd, et à joindre les points de division.
Le problème proposé a huit solutions dans le cas général. En effet, en considérant le problème inverse, on voit d'abord que Tangle a peat s appuyer indifféremment sur chacun des côtés du quadrilatère A'B'C'D': ce qui donne quatre solutions. De plus, chacune de ses solutions doit être doublée : car fangle a s'appuyant sur le côté A'B' par exemple, les angles b et d peuvent s'appuyer respectivement, soit sur les côtés B'C et A'D', soit au contraire sur les côtés A'D' et B'C'. Cette double solution se réduirait à une seule, si les angles b et d étaient égaux en même temps que les côtés B'C et A'D'.
Axes radicaiLT.
368. Nous avons vu (199) que, si, par un point M [Jig, 7.%^) situé comme on voudra dans le plan d'un cercle 0, on mène à ce cercle tine
Fig. 229.
sécante arbitraire MAB, le produit MA. MB des distances de ce point aux deux intersections A et B de la sécante et de la circonférence est une quantité constante, c'est-à-dire indépendante de la direction de la sécante. Ce produit constant MA. MB, qui est évidemment positif lorsque le point M est extérieur au cercle, et négatif lorsque le point M est intérieur, porte, d'après Steiner [Journal de C relie ^ t. I), le nom de puissance du point M par rapport au cercle 0.
Considérons en particulier celle des sécantes issues du point M qui passe par le centre 0, et désignons par d la distance MO et par r le rayon du cercle. Si le point M est extérieur au cercle, les deux segments MA et MB, comptés sur cette sécante^ sont du même signe, et comme leurs valeurs absolues sonlr/— /■ et d-^-r^ la puissance du point M a pour expression [d-\-r) (rf— r) ou d^ — r'. Si le point M est intérieur, les deux segments MA et MB, comptés sur la sécante qui passe au centre, ont respectivement pour valeurs absolues /•— r/ et r-^d\ mais, comme ils sont de sens opposés, la puissance a pour expression — (/• — ^) (r-l-^O = — (/•' — ^')» c'est-à-dire encore r/^ — /•\ Ainsi, dans tous les cas, la puissance d^un point par rapport à un cercle est
égale y en grandeur et en signe, à P excès du carré de la distance de ce point au centre sur le carré du rayon.
Lorsque le point M est extérieur au cercle, sa puissance est égale au carré de la tangente MT menée au cercle par ce point.
Si le point M est sur la circonférence, sa puissance est évidemment nulle.
369. Nous avons démontré que deux circonférences orthogonales divisent harmoniquement la droite qui passe par leurs centres (328). Par suite (327), quand deux cercles se coupent orthogonale ment ^ le carré du rayon de Vun quelconque d^ entre eux est égal à la puissance de son centre par rapport à Vautre cercle.
THÉORÈME
370. Le lieu des points M d^égale puissance par rapport à deux cercles 0 et 0\ est une droite perpendiculaire à la ligne des centres 00'. .
En effet, r et r' étant les rayons des deux cercles, on a ( 368 )
MÔ'-/•'=OM''-^'^ d'où
en supposant r > r*. Le lieu cherché est, d'après cela, le lieu des points dont la différence des carrés des distances aux centres 0 et 0' est égale à la différence des carrés des rayons. C'est donc (235) une droite perpendiculaire à 00', plus voisine du centre 0' du plus petit cercle que du centre 0 du plus grand, et dont la distance au milieu de la ligne des centres OO', est égale à
D'après Gaultier (de Tours) [Journal de r École Polytechnique, t. IX], on donne à celte droite le nom d^axe radical des deux cercles.
Il résulte de la formule précédente : i" que Vaxe radical de deux cercles égaux passe par le milieu de la ligne des centres; i° que l'axe radical de deux cercles concentriques disparaît à rinjini; 3° que si deux cercles n'ont aucun point commun, leur axe radical ne les coupe ni l'un ni l'autre.
Lorsque les deux cercles se coupent, leur axe radical est leur corde commune indéjiniment prolongée ; car chaque point commun aux deux cercles a une puissance nulle par rapport à chacun de ces cercles (368).
Si deux cercles se touchent, soit intérieurement , soit extérieurement , leur axe radical est la tangente au point commun.
234 GÊOMÊTRIfi PLANE.
Corollaires.
371. Lorsqu'un point est hors d'un cercle, sa puissance par rapport à ce cercle est égale au carré de la tangente issue de ce point (368); donc l'axe rculical def deux cercles est le lieu des points d'où l'on peut leur mener des tangentes égales. Par suite, les milieux de toutes les tangentes communes que I'ofi peut mener aux deux cercles sont situés sur l'axe radical f et de là résulte un moyen de construire Taxe radical de deux cercles extérieurs l'un à l'autre.
372. Lorsqu'un cercle M coupe orthogonalement doux cercles donnés 0 et 0', le carré de son rayon (369) est égal à la puissance de son centre par rapport à chacun des deux cercles ; donc, l'axe radical de deux cercles est le lieu des centres des cercles qui les coupent tous deux orthogonalement.
Soit M, M', M*, . . . , la série des cercles qui coupent orthogonalement les deux cercles donnés 0 et 0', et dont les centres sont, d'après l'alinéa précédent, sur l'axe radical des cercles 0 et 0'. Deux quelconques M et M' de ces cercles sont coupés orlhogonaleroent par les cercles 0 et 0'; par suite, ces points 0 et 0' sont situés sur l'axe radical des cercles M et M'. Donc les cercles M, M', M",..., qui coupent orthogonalement deux cercles donnés 0 et 0', ont pour axe radical commun la ligne des centres 00' de ces deux cercles. Si les cercles 0 et 0' n'ont aucun point commun, l'un des cercles M, M', M",..., a son centre sur 00' (329); et les deux points où il coupe 00' sont commyns à tous les cercles M, M'^ M",. . ..
THÉORÈME
373. Les axes radicaux de trois cercles considérés deux à deux concourent en un même fwint.
En effet, soient 0, 0', 0", les centres des trois cercles et L, L', L", les axes radicaux des cercles O'et 0", 0" et 0, 0 et 0'. En supposant que les trois points 0, 0', 0", ne soient pas en ligne droite, on voit que L et L', perpendiculaires à deux droites qui se coupent, O'O" et 0''D, se rencontreront en un certain point C, qui sera alors d'égale puissance par rapport aux cercles 0' et 0", et aussi par rapport aux cercles 0" et 0. Ce point C aura donc même puissance par rapport aux cercles 0 et 0', et par suite il appartiendra à-leur axe radical L".
Le point C, commun aux trois axes radicaux, prend le nom de centre radical dn système des trois cercles, 0, 0', 0".
Lorsque les points 0, 0', 0", sont en ligne droite, les axes L, L', L", sont parallèles, et le point C passe à l'infmi.
374. Ce théorème permet de construire simplement Taxe radical de deux cercles 0 et 0' extérieurs ou intérieurs l'un à l'autre. Il suffit de
coaper ces deux cercles par un troisième cercle quelconque 0". La corde commune aux cercles 0 et 0" et la corde commune aux cercles 0' et 0", se couperont au centre radical C des trois cercles 0, 0', 0", et il restera à abaisser de ce point C une perpendiculaire sur la ligne 00' (Jig, aSo etsSi ).
Fig. !i3o. Fig. 33i.
375. Lorsque le centre radical de trois cercles est intérieur à Tun d'eux, il Test aussi aux deux autres. De même, lorsqu'il est extérieur à Tun d'eux, il est extérieur aux deux autres ; c'est alors le seul point du plan d'où l'on puisse mener aux trois cercles des tangentes égales, et c'est aussi le centre du seul cercle qui puisse les couper tous les trois orthogonalement.
THÉORÈME
376. i" Le produit des distances de l'un quelconque des deujr centres de similitude de deux cercles à deujc points anti-homologues est constant ; 2** flctu: couples de points anti-homologues sont sur une même circonférence ; 3** deux corrles anti-homologues se coupent sur l'axe radical, '
Fig. 233.
^:i- IS'
Soient deux cercles 0 etO' [^g. aS-i), S un de leurs centres de similitude. Une sécante SM, issue de S, coupe les cercles 0 et 0' en quatre points M, N, M', N'. Les point M et M' sont homologues par rapport au centre S, car les rayons correspondants OM, OIA', sont parallèles ; de
236 GfiOHÉTRIE PLANE.
môme N et N' sont homologues. Les points M et N' sont dits anti-ltomn-* hgues, ainsi que leâ points N et M'. Une corde quelconque M/? du premier cercle, et la corde N'/n' du second cercle qui joint les points auti-homologues des extrémités de la première, prennent le nom de cordes antihomologues. Ces définitions établies, voici la démonstration du théorème énoncé : .
i" En désignant par /• et r' les rayons des deux cercles et par p là puissance du point S par rapport au cercle 0, on a
SM.SN = /> et i^, = ~- SM /•
En divisant la première égalité par la seconde, il vient
SN.SM'=o-- '^ r
et l'on trouverait de même
SM.SN'=r;;
^"^ D'après cela, si S//f est une autre sécante issue du point S, on aura
SM.SN'-S//,S/7i';
donc (200) les points M et N', n et /w', sont sur une même circonférence 0". 3" Enfin, la corde M« étant Taxe radical des cercles 0 et 0", et la corde N'w' l'axe radical des cercles 0' et 0*, le point d'intersection C des deux cordes est le centre radical (373) des trois cercles 0, 0', 0", c'est-àdire un point de l'axe radical des cercles 0 et 0'. Celte dernière propriété, prise à sa limite, prouve encore que \os tn/tgcntes en deux points anti-honiologues de deux cerrles se coupent sur F axe radical,
ScOLIE.
377. Lorsque l'un des cercles, 0' par exemple, dégénère en une droite L parce que son rayon devient infiniment grand, les points qui jouent le rôle de centres do similitude de la droite L et du cercle 0 sont les extrémités du diamètre AB perpendiculaire à la droite L (fig. 233). En eflet, ces deux points jouissent encore de la propriété exprimée par le théorème précédent ; car, si l'on mène par A, par exemple, une sécante quelconque AMQ, et si Ton tire MB, on voit que langle inscrit BMA étant droit comme l'angle P, les deux droites PQ et MB sont anliparallèles par rapport à l'angle A ; on a donc
AM . AQ = AB . AP = constante.
C'est la droite L elle-même qui joue alors le rôle d axe radical du système formé par la droite L et le cercle 0.
Fig. 333.
THÉORÈME
378. L'axe radical de deux cercles est à égale distance des deux polaires de V un quelconque des centres de similitude.
Ce théorème est évident lorsque l'on peut mener par le centre de similitude que l'on considère une tangente commune aux deux cercles; car Taxe radical, qui est d'ailleurs parallèle aux deux polaires, passe par le milieu de la tangente commune dont les points de contact sont sur les deux polaires.
Dans tous les cas, la proposition résulterait aisément des formules qui donnent les positions du centre de similitude, des polaires et de Taxe radical (360, 338, 370). Nous laissons au lecteur le soin de faire ce calcul, qui est sans difficulté.
379. Si Vun des cercles se réduit à un point, l'axe radical de ce /?oint et de l'autre cercle est à égale distance de ce point et de sa polaire par rapport au cercle, car ce point est alors le centre de similitude du système formé par lui-môme et l'autre cercle.
Figures inverses. Méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques,
380. Étant donné, dans un plan, un système quelconque de points A, B, C, . . ., isolés ou formant des lignes continues, si, sur les rayons vecteurs'SA, SB, se,..., issus d'un point S choisi arbitrairement dans le plan, on prend, à partir de ce point S, des segments SA', SB', SC',. . ., tels, que
SA.SA'=SB.SB' = SC.SC'= . . . = p,
^ étant une quantité constante positive ou négative^ on dit que le système A'fi'C est inverse du système ABC. ... Le point fixe S prend le
nom d'origine, et la constante \». le nom de puissance. Si la puissance /x est positive, les rayons vecteurs correspondants SA et SA' sont de môme sens, et les points correspondants A et A' sont du môme côté de l'ori-
a38 GÉOHitTRiB PLANE.
gine S ; si fA est négatif, les rayons vecteurs SA et SA' sont de sens contraire, et les points correspondants A et A' sont de part et d'autre de Torigine.
Lorsque la constante fx est positive, on peut la regarder comme le carré du rayon d'un cercle décrit autour de Forigine et qu'on nomme cercle d'inversion. Lorsqu'on fait varier le rayon du cercle d'inversion sans déplacer son centre, les figures inverses d'une même figure donnée ainsi obtenues sont homothétiques ; on a, en effet, en désignant par p un rayon vecteur quelconque de la figure primitive et par r et r' les rayons vecteurs correspondants de deux figures inverses de la première, suivant les puissances fA et ;&',
pr=ii., pr'=ii',
d'où
— = — = constante.
r fL
381. Il résulte du n° 377 {fig. a33) qu'une droite L et un cercle 0 quelconque peuvent être considérés comme deux figures inverses l'une de l'autre; l'origine est Tune quelconque des extrémités A et B du diamètre perpendiculaire à la droite L ; la puissance est représentée en i grandeur et en signe par le produit d^^ dans lequel d désigne le diamètre AB du cercle et 9 la distance de l'origine A ou B à la droite L, cette distance étant positive ou négative, suivant qu'elle est, par rapport à Forigine, de même sens que le diamètre du cercle ou de sens contraire. Ainsi, la puissance est positive lorsque A est l'origine, et négative quand l'origine est B.
On conclut de là que lu figure inverse d'une droite L est une circonférence 0 passant par forigine, et dont on obtient le diamètre en prenant sur la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la droite L un segment
égal en grandeur et en signe à 4? f^ étant la puissance donnée. De même,
la figure inverse dune circonférence 0, par rapport à l'un quelconque de ses points pris pour origine, est une droite L perpendiculaire au diamètre passant par l'origine, et dont la distance à cette origine est donnée en
grandeur et en signe parla formule ^ = n) \»- étant la puissance considérée.
382. Il résulte pareillement du n** 376 [fig. a3a) que deux circonférences quelconques 0 et 0'' peuvent être considérées comme deux figures inverses l'une de Vautre; l'origine est l'un quelconque S des centres de similitude ; la puissance est/^K, p étant la puissance du centre de similitude S par rapport au cercle 0, et K le rapport de similitude des cercles 0' et 0.
On conclut de là que la figure inverse d'une circonférence 0 par rap* port à un point S extérieur ou intérieur pris pour origine, est une cir^ conférence 0' telle, que l'un des rentres de similitude des circonférences 0'
et 0 soit en S et que le rapport de similitude soit égal à - > u étant la puissance donnée et p la puissance du point S par rapport au cercle 0.
3S3. La distance MN (le 'deiuc points quelconques dUtne figure et la distance M'N' des /joints correspondants de la figure inverse, sont liées par la formule ^
flans laquelle S et [a représentent rorigine et la puissance considérées
(fig-^H).
En effet, la relation
SM.SM' = SN.SN'=:f*
prouve que les droites MN, M'N', sont anti-parallèles par rapport à Tangle MSN, et par suite que les triangles SMN, SM'N', sont semblables. On a donc ^
jtn; __»«; a
MN ""SM ~SM.SN' d'où
THÉORÈME
384. L'angle de deux lignes qmdconques qui se coupent, est égal à r angle des deux lignes inverses.
Fig. 234. Fig. 235.
Considérons d'abord (fig. a34 ) une seule ligne quelconque MN et son inverse M'N' ; il est aisé de voir que les angles TMM', TM'M, que leurs tangentes MT, M'T, font avec le rayon vecteur SMM', sont égaux. Car, si l'on considère un rayon vecteur voisin SNN', les cordes MN et M'N' sont, comme nous l'avons déjà fait observer, an ti parallèles par rapport à l'angle MSN; donc, les angles SM'N', SNM, sont égaux; or, à la limite, le premier devient l'angle SM'T, et l'autre, l'angle SMT,, opposé par le sommet à l'angle TMM'; donc, MM'T = TMM'. Pour éviter toute ambiguïté dans la manière de compter les angles, on peut remarquer que les
24o GÉOHfiTRIE PLANE.
deux tangenteâ correspondantes forment les deux côtés d'un triangle isocèle TMM' dont la base est la partie MM' du rayon vecteur comprise entre les deux points de contact.
Soient actuellement (fg. 235) deux courbes M« et MA qui se coupent en My et les courbes inverses MV/' et M'A' ; il faut prouver que Tangle des deux premières, c'est-à-dire l'angle /MT de leurs tangentes, est égal à Tangle /M'T des deux autres. Or, on a, d'après l'alinéa précédent,
/MM' = /M'M, TMM'=:TM'M,
d'où, en retranchant,
^MM'-TMM' ou /MT=fM'M-TM'M ou tWT.
Cette propriété de conserver les angles dont jouit ce mode de transformation des figures, e^t très-importante : elle entraîne la similitude des triangles inQniment petits correspondants, de sorte que deux figures inverses Tune ou Tautre sont deux figures semblables dont le rapport de similitude varie d'un lieu à un autre.
