Ces principes posés, passons aux applications

Voici d'abord quelques exemples de transformation des propriétés descriptives et des propriétés métriques angulaires.

I** Dans tout triangle rectiligne, la somme des angles est égale à deux angles droits. En formant la figure inverse (38i ), on obtient un triangle formé par trois arcs de cercle qui se coupent tous à l'origine ; et, comme la transformation n'altère pas les angles, on a ce théorème : La somme des angles d'un triangle curviligne, dont les côtés sont des arcs de cercle qui se croisent en un même point ^ est égale à deux angles droits. On aurait un théorème analogue en transformant la proposition relative (8i ) à la somnte des angles d'un polygone.

2*" Les trois hauteurs d'un triangle rectiligne se coupent au même point. Donc, dans tout triangle dont les côtés sont des arcs de cercle posant par un même point, les trois cercles qui, passant par ce point et par un sommet Tiu triangle, coupent orthogonalement le côté opposé à ce sommet, concourent en un même point. Le théorème sur les bissectrices se transformerait d'une manière analogue.

3^ II est évident que si, dans un angle fixe, on inscrit deux cercles tangents entre eux, le lieu de leurs points de contact est la bissectrice de l'angle. Donc, en formant la figure inverse, si, dims l'espace compris entre deux cercles qui se coupent, on inscrit deux circonférences tangentes entre elles, le lieu de leur point de contact est une autre circonférence.

386. La transformation des propriétés métriques des segments s'opère à l'aide de la formule du n** 383, dans laquelle on peut d'ailleurs faire

LIVBE III. — LES KIGUBBS SEMBLABLES. !l^l

ft = I. Il suf&t, d*après cela, pour transformer une relation entre diverses

distances ÂB, BC,..., de la figure primitive, de remplacer chaque dis-

AB tance telle que AB par ^ ^ ? S étant le point pris poui origine. Voici

un exemple :

Étant donnée sur une droite une série de points se succédant dans Tordre A, B, C,. . ., H, K, on a évidemment

AK = AB-hBC+...4HK. '

La figure inverse offre une série de points se succédant dans l'ordre S, A, B, C,. . ., H^ K, sur un cercle passant par l'origine S, et l'on a entre les distances de ces points la relation