AC AB BC
SA. se ~ SA.SB"^ SB. se' ou
AC.SB = AB.SC-hBC.SA,
et l'on retombe sur le théorème de Ptolémée (210) relatif au produit des diagonales du quadrilutère inscrit.
La méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques, proposée par M. Slubbs [Philosophiral Magazine, i843), appliquée ensuite par M. William Thomson sous le nom de principe des images, a été l'objet d'un Mémoire de M. Liouville^ qui en a donné une théorie analytique complète (Journal de Mat/tématû/ues, i'* série, t. XII).
Cercle tangent à trois cercles donnés,
387. Désignons par A, B, C, les centres des trois cercles auxquels on demande de mener un cercle tangent.
On peut avoir: !° un cercle w enveloppant A, B, e, et un cercle w' enveloppé par A, B, e ; 2° un cercle a qui touche extérieurement le cercle A et intérieurement les cercles B et C, et un cercle a.' qui touche intérieurement le cercle A et extérieurement les cercles B et C ; 3° un cercle p touchant le cercle B extérieurement et les deux autres A et C intérieurement, et un cercle f>' touchant B intérieurement et A et C extérieurement ; 4" enfin, un cercle 7 qui touche e extérieurement et A et B intérieurement, et un cercle 7' touchant e intérieurement et A et B extérieurement. Ainsi, il peut exister dans le cas général Imit solutions qui se partagent, comme nous venons de l'indiquer, en quatre groupes de deux.
Cela posé, cherchons à déterminer les deux circonférences d'un même groupe, 0) et w' par exemple (fig, 286).
Supposons le problème résolu : soient a et a' les points de contact des
242 «ÉOIIÉTRIB PLANE.
cercles &> et ta' avec le cercle A, de môme b et b^ leurs points de contact avec le cercle B, c et c' leurs points de contact avec le cercle C. Tout revient évidemment à trouver les cordes aa\ bb\ ce'. Or ces cordes sont déterminées par les deux propriétés suivantes.
Fie. 236.
1* Chacune des cordes aa\ bb\ cc\ passe par le centre radical des trois circonférences données A, B, C. — En effet, a étant le centre de similitude directe des cercles &> et A, et a' le centre de similitude inverse des cercles &>' et A, la corde aa* doit passer par le centre de similitude inverse S des cercles o> et &>' (364). On verrait de même que ce point S appartient aussi à bb* et ce'. Un raisonnement analogue montre que ab et a' b' concourent au centre de similitude directe C des cercles A et B; donc les cordes aa' et 6^' des cercles A etB sont anti-homologues (376), et leur point d'intersection S appartient à l'axe radical des cercles A et B. On verrait de même que ce point de concours S de aa'^ bb\ cc\ appartient à Taxe radical des cercles B et G : il est donc le centre radical des trois cercles A, B, G.
a** Chacune des cordes aa\ bb\ ce', contient le pôle, par rapport à son cercle y de taxe de similitude directe A'B'G' des trois circonférences don^ nées A, B, G. — En effet, puisque S est un centre de similitude des cercles &> et a»', les deux cordes ab^ a'b', sont an li -homologues, et leur point de concours G' doit appartenir à Taxe radical des deux cercles w et 6»'. On verrait de même que cet axe radical passe par le centre de similitude directe A' des cercles B et G et par le centre de similitude directe B' des cercles A et B. Donc, l'axe radical des cercles w et «' coïncide avec Taxe A'B'G' de similitude directe des trois cercles A, B, G. D'après
LIVBB III. — LBS FIGURES SfcMBLABLBS. 2^^
cela, la droite A'B'C doit contenir Tintersection A', des deux tangentes anti-homologues «A,, a'A^ (376, 3°), c'esl-à-dire le pôle de la corde aa' par rapport au cercle A; donc, réciproquement (340), la corde aa* doit renfermer le pôle p de la droite A'B'C par rapport au cercle A.
On conclut de là la règle suivante: Déterminez le centre radical S et Vaxe de similitude directe des trois cercles donnés A, B, C ; prenez^ par rapport à chacun d'eux, les pôles />, y, r, de cet axe^ et menez les droites S/7, S <7, Sr, qui rencontreront respectivement les cercles A, B, C, aux points de contact a et a\ b et b\ c et c' \ il ne restera plus alors quà faire passer un cercle tù par les points a y 6, r, et un cercle v^' par les points a\ b\ c\
En remplaçant Taxe de similitude directe par chacun des trois autres axes de similitude et en opérant d'une manière analogue, on obtiendrait les trois autres couples de cercles tangents.
388. Cette belle solution, due à Gergonne [Annales de Mathématiques , t. rV), est remarquable par sa simplicité, et surtout par la facilité avec laquelle elle s'applique à tous lès cas particuliers qu'on obtient, en supposant qu'un ou plusieurs des cercles A, B, C, se réduisent à des points ou à des droites.
Ces cas particuliers sont au nombre de dix ; en repré^rcntant un cercle par C, une droite par D et un point par P, on peut exprimer ces dix problèmes comme il suit : PPP, PPD, PPC, PDD, PDC, PCC, DDD, DDC, DCC, CCC.
Les problèmes PPP (faire passer un cercle par trois points donnés), DDD (mener un cercle tangent à trois droites données), ont été résolus directement dans le II" livre (iG5, 172); les problèmes PPD, PPC (faire passer par deux points donnés un cercle tangent à une droite ou à un cercle donné), ont été résolus directement dans le III* livre (262).
Transversales.
389. Lorsqu'une transversale abo[fig, 287 et 238) rencontre les trois
Fîg. 237.
côtés d'un triangle ABC, regardés comme indéfinis, chacun des point d'intersection ^/, ^, r, est l'origine commune de dei:x segments ayant pour
244 dÉOHÉTRlE PLANE,
extrémités les eitrémftés du côté que l'on considère. Ainsi, sur AB, sont les deux segments cA et cB, sur BC les segments aB el aC^ et sur CA les segments bC et ^A. Les deux segments relatifs à un môme côté sont de signes contraires ou de même signe (306), suivant que la transversale coupe le côté lui -môme ou son prolongement.
THÉORÈME
390. Quand un triangle ABC est coupé par une transversale abc (fig* 237 et a38), il existe entre les segments que cette droite détermine sur les côtés la relation
aB ^C flC'AA*
cB ^^'
En effet, ( blables ^CD
Bn menant
t CD parallèle
/ïB ûC'
à AB, on a,
cB .
