DC
dans les
triangles
sem-
et, dans les
triangles
semblables ^CD, bck.
bC bX
DC
il suffit donc de multiplier ces deux proportions membre à membre pour avoir la relation (i), qui se trouve ainsi démontrée en valeur absolue.
Il reste à prouver que, eu égard aux signes des segments, c'est le signe + qui convient au second membre de cette égalité. Or il ne peut se présenter que deux cas : la transversale coupe deux côtés et le prolongement du troisième (yfg'. 237), ou elle coupe les prolongements des trois côtés (^g. 238). Dans le premier cas, deux des rapports qui figurent dans le premier membre sont négatifs, et le troisième positif; dans le second cas, les trois rapports sont positifs. Le produit des trois rapports a donc toujours le signe +.
391 . Réciproquement, si, sur les trois côtés dun triangle ABC considérés comme indéfinis, on prerul trois points a,b'c, tels que la relation (i) soit satisfaite y ces trois points seront en ligne drvite.
En effet, en désignant par c' le point où la droite ab rencontre AB, on a, d'après ce qui précède,
oB bC cVA aC' bAc'B" '»
par suite, en comparant cette relation à la relation (i), qui est satisfaite
par hypothèse, on a
r'A cA
Donc ( 306) r' coïncide avec c, et les trois points a, b, c , sont en ligne droite.
Observons que la relation (i), qu'on prend ici pour hypothèse, exige que le nombre des rapports négatifs du premier membre soit pair, c'està-dire exige que parmi les trois points a, bjC^W y en ait un nombre pair situé sur les côtés et, par suite, un nombre impair sur les prolongements.
On peut encore remarquer que les numérateurs des trois rapports sont trois segments sans extrémités communes ; il en est de même pour les dénominateurs.
SCOLIE
392. Le théorème qui précède, attribué à Mélénaiis , géomètre grec, antérieur de près d'un siècle à Ptolémée, sert à prouver que trois points d'une 6gure sont en ligne droite; outre cet usage spécial, il intervient souvent d'une manière utile dans certaines démonstrations.
Par exemple, pour obtenir le théorème de Pascal (322), il suffit de considérer le triangle formé par trois côtés non consécutifs de l'hexagone inscrit, comme coupé successivement par les trois autres côtés. Le théorème du n"* 390 donne ainsi trois relations, dont le produit membre à membre se réduit à une nouvelle relation de même forme entre le» segments déterminés sur les côtés du même triangle par les points de concours des côtés opposés de l'hexagone. La réciproque (39i] de ce théorème prouve alors que ces trois points de concours sont en ligne droites Mais cette démonstration, due à Sturm, et que le lecteur rétablira san.r peine d'après cette analyse, est moins simple que celle que nous avon. donnée au n<* 322.
