Voici un autre exemple
Dans tout quadrilatère complet ABCDEF, les mil/eux L, M, N, des trois diagonales AC, BD, EF, sont en ligne dmite (Jig, 289 ).
Fig. 239.
En effet, les milieux G, H, K, des côtés du triang'o BCE sont les sommets d'un nouveau triangle dont les côtés passent évidemment par L, M, N,
a46 GÉ01IÉTRIE PLANE.
et tout revient à démontrer (391 ) la relation
MG LK NH MK'LHNG""*'
Or Texactitude de cette relation résulte de ce que les six termes de son premier membre sont respectivement les moitiés des segments que la transversale ADF détermine sur les côtés du triangle BCE.
THËORËBfE.
394. Les droites menées d^un même point 0 [fig^ 240 et 24 1 ) aux
Fig. 340.
trois sommets d'un triangle ABC, rencontrent les côtés opposés ^ considérés comme indéfinis^ en trois jmints n^b, c, qui satisfont à la relation
flB ^C ck
En effet, le triangle ACo, coupé parla transversale B^, donne
B^ OA ^ BC'Ort'^A "" *•
Le triangle ABcr, coupé par la transversale Cr, donne à son lour
CB O^r rA C/7*0A*cB "" '*
En multipliant membre à membre ces deux égalités, on obtient la
relation
^ 6C c CB
flC'ôAcB'BC"''
CB
qui ne diffère pas de la relation (a), puisque ôp = ~ ï-
393. Béciproqucment, si, par les sommets d'un triangle ABC, on mène trois droites A/7, B/», Ce, telles que la relation (a) soit vérifiée^ ces trois droites passent par un même j>oint.
En effet, en désignant par 0 le point de concours de A a et de B^, et par c* le point où CO rencontre le côlé AB, on a, d'après ce qui précède»
flB ^ £lA__ «C'^A'c'B^ *'
d'où, en cooiparant avec la relation (2), qui est satisfaite par hypothèse,
cB""c'B'
Donc, les points c et c' coïncident (306) ; en d'autres termes, la droite Ce passe par Fintersection 0 de A a et de B^.
SCOLIE
396. Le théorème qui précède, dû à Jean de Ceva, géomètre italien du xvi' siècle, sert à prouver que trois droites d'une figure sont concourantes; il peut aussi intervenir comme auxiliaire utile dans certaines démonstrations.
Voici quelques exemples :
1* Dans tout triangle ABC, les trois médianes A a, B 6, Ce, passent par un même point; car chacun des rapports qui figurent dans le premier membre de la relation (a) est alors égal à — i.
a° Dans tout triangle ABC, les Bissectrices A/z, B^, Ce, des trois angles, passent par un même point.
En effet, en vertu du théorème du n° 19i, les rapports qui figurent dans le premier membre de la relation (1) sont respectivement égaux aux rapports
