AB BC AC AC' AB' BC
dont le produit est égal à — 1.
On verrait de même que les bissectrices des suppléments de deux angles et la bissectrice du troisième angle y passent par un même point.
3" Dans tout triangle ABC, les trois hauteurs ka, B6, Cr, passent par un même point.
En effet, les triangles semblables BA&, CAe donnent
cA AC et Ton a de même
bk"
ÂB'
£7B AB cB~BC'
èC BC.
aC ~ AC^
d'où Ton voit, en multipliant membre à membre, que le produit -pr-7-7-— 5 est, en valeur absolue, égal à i. D'ailleurs, chacun de ces
aVjk OA CD
trois rapports est négatif; donc, leur produit est égal à — i.
a48 GÉOMÉTRIE PLANE.
397. Les théorèmes de Ménélaiis et de Jean de Ceva ont été reproduits, dans sa Géométrie de position^ par Cariiot, qui en a fait ensuite la base de sa Théorie des transversales. Sans méconnaître l'utilité de ces propositions, ni surtout Theureuse influence qu'ont exercée les idées générales introduites par Carnot dans la science géométrique, il faut cependant avouer que remploi de ces théorèmes est^ en général, moii^s simple «t moins fécond que celui du rapport anharmonique.
Cercle des neuf points:
398. Nous terminerons cet appendice par des démonstrations trèssimples des propriétés remarquables du cercle connu sous le nom de Cercle des neuf points.
THÉORÈME
399. Dans tout triangle ^SC,^ les milieux n^ b, r, des côtés, les pieds st, P, y, {les /uiuteurSy les milieux p, q, r, des distances qui séparent les sommets A, B, C, du point de concours H des hauteurs, sont neuf points situés sur une même circonférence ; le centre M de cette circonférence est le milieu de la droite qui unit *e centre 0 du cercle circonscrit au triangle au point de concours H des hauteurs, et son rayon est égal à la moitié du rayon de ce cercle {fig, a4^)'
Fîg. a4a.
iH
En effet :
1^ Puisque ah est égal et parallèle à Ac, la ûgure khac est un parallélogramme, et l'angle bac est égal à l'angle ckb^ c'est-à-dire à la somme des angles BAse, CAa. Or, puisque dans le triangle rectangle AaB, on a OLC = Ac (i43), le triangle Aar est isocèle, et l'angle BAa est égal à l'angle Aac; de même, l'angle CAa est égal à langle Aa^. Donc, l'angle bac est égal à la somme des angles Aac, Aa^, c'est-à-dire à langle ^ac. Le cercle qui passe par les milieux a^ b^c^ des côtés du
tIVRB III. — LES FIGCRES SEMBLABLES. 249
triangle, passe par suite par Je pied a de la hàuleur A a, et Ton démontrerait d'uiiô manière analogue qu'il passe par les pieds ^ et y des deux autres hauteurs.
a" Les droites a a, ùp,cy, étant des cordes du cercle considéré, le centre de ce cercle sera à la rencontre des perpendiculaires élevées à ces cordes par leurs milieux. Or, d'après les propriétés connues du trapèze (188), Tune quelconque ^M de ces perpendiculaires passe parle milietf M de OH. Ce milieu M est donc le centre cherché.
3^ Menons la droite aM et prolongeons-la jusqu'au point p où elle rencontre la hauteur A a. L'égalité des triangle^ OMa, HM/?, qui ont leurs angles égaux et le côté OM égal au côté MH, donne Mp =Maet^H = aO. D'ailleurs, on sait que AH = 2/iO; le cercle considéré passe donc par le point p, et ce point p est le milieu de la dislance AH qui sépare le sommet A du point de rencontre H des hauteurs. On démontrerait d'une manière analogue que ce cercle passe encore par les milieux ^ et r des autres distances BH et CHÎ et c'est pour cela qu'il a reçu le nom de cercie fies neuf points,
4*" Enlin, Ap étant, d'après ce qui précède, égal et parallèle à Oa, la. figure OXpa est un parallélogramme, et le diamètre npdu cercle des neuf |K)ints est égal au rayon OA du cercle circonscrit c;u triangle.
THÉORÈME
400. Dans tout triangie ABC, ie cercle des neuf points est tangent an cercle inscrit au triangle et à cliacun des trois cercles ex- inscrits [fig, a43) .
Nous nous bornerons à prouver que le cercle des neuf points est langent au cercle inscrit; la démonstration serait la même, à quelques mots près, pour chacun des cercles ex-inscrits.
Soient I le centre du cercle inscrit au triangle ABC; \ /x, v, ses points de contact avec les côtés; et <'/, /^',/, les milieux des droites lA, IB, IC. Considérons le cercle des neuf points relatif au triangle AIB et le cercle des neuf points relatif au triangle AIC. Ces deux cercles auxiliaires passent l'un et l'autre par le point d\ désignons par &> leur second point d'intersection. La proposition énoncée sera démontrée si l'on établit : i** que ce point 6> appartient au cercle des neuf points du triangle ABC, cercle que nous 'appellerons pour plus de rapidité le cercle M ; %^ que ce point &> a|>partient au cercle inscrit I; 3** que ce point oj est sur la ligne des centres MI des deux cercles M et L
Or:
1** Les angles ced^ cwd^ sont égaux comme inscrits dans un même segment; les angles ced, t-AI, sont égaux comme angles opposés d'un parallélogramme; donc, l'angle cwrf est égal à l'angle cAL On verrait de même que l'angle ^u^ est égal à l'angle ^AL En ajoutant de part et d'autre, on obtient l'angle 6wc égal à l'angle bXc ou, ce qui revient au même, à
l'angle bac Les poinls w, «, b, r, sont donc sur une même circonférence, c'esl-à-dire que le point w appartient à la circonférence M.
Fig. 243.
.^Ad
2° Les angles vw^, Ac*'/, sont égaux comme inscrits dans le même segment. D'ailleurs, les angles A a/, ABI, sont égaux comme correspondants;
donc, l'angle v«r/ est égal à l'angle ABI, c'est-à-dire à - B. On v<îrrait de même que l'angle fiwr/est égal à - C. En ajoutant, il vient
angle vw/^ = -B + -C= - (180° — A) = - vipt = vÀpi.
Les poinls w, \ f*, v, sont, par suite, sur une même circonférence; en d'autres termes, w a[)partient à la circonférence L
3" Il reste à prouver que les points w, I, M, sont en ligne droite ou, ce qui est la même chose, que les angles cwl, cwM, sont égaux. On a
cwl = <rwr/ -4- rfwp — pwl.
Quant à l'angle cwM, c'est le complément de l'angle - cMw, ou de l'angle c^w, ou encore de l'angle cax^ en appelant x l'intersection des droites atù et ftl; et, comme /xl est perpendiculaire sur /ic, l'angle cwM est égal alors à l'angle [axgj. Il est, par suite, le supplément de
I|:a6> -|-x&>pL ou de Ifxw + xwr -4- cwr/-}- r/wj!*. Nous n'avons donc plus qu'à vérifier que la somme
(luw — jxwl) -hxwr-hacwflf -h idtA^i.
est égale à deux angles droits. Or la quantité entre parenthèses est nulle, puisque Ifx et I» étant égaux tous deux au rayon du cercle inscrit I, le triangle Iw/x est isocèle. De plus, on a
xoic ~ abc = B, (loic = dec = - A, dttiu.= dbtx= - C.
La somme considérée est donc bien égale à deux angles droils, puisqu'elle représente la somme des angles du triangle ABC.
«IIESTIOBTS PROPOSEES.
§ 1. — Lignes proiyortionnelles .
\%\, d élant la longueur d'une droite BC, et M et M' étant les points conjugués qui la divisent dans le rapport t) démontrer les relations suivantes :
M'A=-^, M'B= -^ (si/ïest>^), a ^ b a — b ^ -^ n
et
M'A=-r^' M'B=r^ (siflest<^'). b — a b — a ^
16i. 0 élant le milieu d'une droite BC, et M et M' deux points conjugués par rapport à cette droite, démontrer directement la relation
Ôb':^OM.OM'.
I élant le milieu de MM ', on a de même
ni'=iB.ic.
163. M et M' étant deux points conjugués par rapport à la droite BC, démontrer la relation
BC BM^BM'
i64. Démontrer que, si l'on mène entre les deux côtés d'un triangle une suite de parallèles à la base, la médiane qui correspond à cette base est le lieu des points d'intersection des diagonales des trapèzes ainsi obtenus.
165. Touver le lieu géométrique des points d'un plan également éclairés
^5^ • GÊOMÉTRIB PLANE. '
par deux foyers lumineux placés dans ce plan, et dont les intensités à l'unité de distance sont représentées par les nombres a et h,
166. Trouver dans le plan déterminé par trois foyers lumineux le point également éclairé par chacun d eux.
167. Trouver le lieu des points qui parlaj;ent dans un rapport donné — toutes les droites comprises entre un point donné A et un cercle donnéO.
168. Trouver le lieu des points d'où Ton voit sous un même angle deux cercles donnés.
169. Trouver le point d'où l'on voit sous un même angle donné trois cercles donnés.
170. Soient deux droites quelconques AB et XY. Si AB est divisée au pointe dans le rapport —j et si des points A, B, G, on abaisse sur XY les perpendiculaires AA', BB', CC, on a toujours
CC' (/;i -h «) = /ï.AA' -h w.BB'.
§ II. — Lignes proportionnelles dans le tercle,
171. Ëlant donnés un point A et un cercle 0, on mène à ce cercle par le point A une sécante ABC sur laquelle on prend un point M tel, qu'on ait AM.AC = /'; trouver le lieu décrit par le point M quand la sécante ABC tourne autour du point A.
17â. D'un point donné hors d'un cercle, lui mener une sécante telle, que la corde interceptée soit moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure.
173. D'un point donné hors d'un cercle, lui mener une sécante telle, que le produit de la sécante entière par sa partie intérieure soit égal à un carré donné /^
174. Étant donné un triangle obtusangle, mener du sommet de l'angle obtus au côté opposé une droite dont le carré soit égal au produit des segments qu'elle détermine sur ce côté.
175. AB est un diamètre d'un cercle, CD une corde perpendiculaire à AB; par un point P pris sur CD, on mène une corde APQ : démontrer que le produit AP.AQ est constant.
176. Si Ton joint le centre d'un cercle à un point d'une corde, le carré de la droite obtenue, plus le produit des segments que le |.oint choisi détermine sur la corde, est égal au carré du rayon.
177. Les cordes communes à un cerclé fixe et à tous les cercles que l'on peut mener par deux points donnés, passent par un point fixe.
478. Dans tout triangle, la demi-différence de deux côtés est la moyenne proportionnelle des distances du milieu du troisième côté aux points où ce côté est coupé par la bissectrice et la hauteur issues du sommet de Tangle opposé; de même, la demi-somme de deux côtés est la moyenne proportionnelle des distances du milieu du troisième côté aux points où ce côté est coupé par la bissectrice du supplément de langle opposé et par la hauteur issue du sommet de cet angle.
179. Étant donnés un triangle ABC et le cercle circonscrit à ce triangle, on mène la bissectrice AD de 1 angle A qui coupe BC en D et le cercle circonscrit en E, et la bissectrice AD' du supplément de langle A qui coupe BC prolongé en D' et le cercle circonscrit en E' : démontrer que BE est la moyenne proportionnelle de EA et de £D, et que BE' est la moyenne proportionnelle de E' A et de E'D'.
180. On donne Tangle au sommet d*un triangle en grandeur et en position, et la somme des inverses des côtés qui comprennent cet angle; démontrer que la base du triangle passe par un point fixe.
181 . Deux droites se coupent à angle droit dans un cercle ou hors d'un cercle : démontrer que la somme des carrés des deux droites opposées déterminées par leurs points d'intersection avec la circonférence, est égale au carré du diamètre, ainsi que la somme des carrés des quatre segments des deux droites données.
182. Si, dans le problème précédent, AB et CD sont les cordes interceptées par la circonférence 0 sur les deux droites données qui se coupent perpendiculairement en Ë, on a
ÂB ' H- CD ' + 4 ÔE ' = 8 ÔÂ ' .
183. Soit un demi-cercle décrit sur AB; deux cordes quelconques AD
et BC se coupent en P : démontrer que AB* = AD. AP -h BC.BP.
181. Dans un triangle quelconque ABC, soient M le milieu de la base BC, I son point de contact avec le ceiclc inscrit au triangle, H et K les points de rencontre de la hauteur et de la bissectrice issues du sommet A avec BC; démontrer la relation
MI.HI=:MH.K1.
185. R, r, p,, Pj, Pj, étant les rayons du cercle circonscrit, du cercle inscrit et des cercles ex-inscrits à un triangle quelconque, et r/, ^,, ^j, $^, étant les distances du centre du cercle circonscrit aux centres des cercles inscrit etex-inscrit;:^; démontrer les relations
R» = t/'H-2Rr=rT^~2Rp. = rj;-,2Rp,= ^^3-aRp3 = '^'"^^'"^^'"^'^'.
186. Si ABCD est un parallélogramme, et si l'on décrit un cercle pas-
354 GÉOHÉTRIB PLANE.
sant par A et coupant respectivement en F, H, G, les côtés ÂB et ÂD et la diagonale ÂC, démontrer la relation
AB.AF-hAD.AH = AC.AG.
187. Un cercle et un quadrilatère inscrit étant donnés, démontrer que si Ton complète le quadrilatère :
i"" Le carré de la troisième diagonale est égal à la somme dos carrés des tangentes issues de ses extrémités;
ii? Celte diagonale est égale à la somme des deux tangentes issues de son milieu ;
3"* Le cercle décrit sur cette diagonale comme diamètre cou[.e orthogonalement le cercle donné.
188. Deux cercles A et B se touchent en C; d'un point D quelconque extérieur à ces cercles, on voit sous le même angle les rayons AG et BG. Si du point D on mène aux deux cercles les tangentes DE et DF, on a
