I. - MESURE DES AIRES DES POLYGONES

DÉFINITIOXS.

401. On appelle aire retendue d'une poriion limitée de surface. Il y a entre Yaire et la surface une différence analogue à celle qui existe entre la longueur et la ligne. Les mots ligne et surface sont relatifs à h former tandis que les mots longueur et aire sont relatifs à l'étendue.

Quand deux figures peuvent coïncider, elles sont égales. Quand deux figures non superposables ont des aires égales, on dit qu'elles sont équivalentes.

402. Un côté quelconque. d'un triangle étant pris pour 6a5«, la hauteur du triangle est la perpendiculaire abaissée du sommet opposé sur la base.

Un côté quelconque d'un parallélogramme étant pris pour • base^ la hauteur du parallélogramme est la distance constante (69) qui existe entre sa base et le côté opposé.

D'après cela, les deux côtés adjacents d'un rectangle constituent indifféremment sa ba^e et sa hauteur, et reçoivent le nom de dimensions de la figure.

Les bases d'un trapèze sont ses deux côtés parallèles, et sa hauteur est la distance constante de ces deux côtés.

403. On dit qu'une grandeur M est à la fois proportionnelle à plusieurs autres grandeurs A, B, C, lorsque ces dernières grandeurs, sauf une, restant constantes, la grandeur M est proportionnelle à celle qui varie ( 131 ).

404. Lorsqu'une grandeur M est proportionnelle à plusieurs autres grandeurs A, B, C, le rapport de deux valeurs quel-

LITRE IV. — LKS AIBBS. l'jS

conques de la grandeur M est égal au produit des rapports des valeurs correspondantes des autres gixindeurs.

Ainsi, soient

m, a, ft, c,

deux séries de valeurs correspondantes des grandeurs M, A, By C, obtenues en rapportant chaque grandeur à une unité de son espèce. On aura

En effet, soient m, la valeur de M qui correspond aux valeurs dy b, Cy de A, B, C, et m, celle qui répond h a' y 6', c; on aura, d'après la définition du n° 403,

nii c

En multipliant ces trois égalités membre à membre et sim* plifiant, on trouve

THÉORÈME

405. i" Si deux rectangles de même base ont des hauteurs égales, ces deux rectangles sont égaux,

2" Si tivis rectangles 'de même base sont tels, que la hauteur du premier soit égale à la somme des hauteurs des deux autres, le premier rectangle est égal à la somme des deux autres.

Fig. 24/1.

En effet :

1° Soient (fig. 244) les deux rectangles ABCD, A'B'C'D', dont les bases AB et A'B' sont égales ainsi que les hauteurs

AD el A'D'. Ces deux rectangles sont évidemment superposables.

2« Soient [fig. 244) les trois rectangles ABGH, A'B'C'D', E' F G' H', dont les bases AB, A' B', E' F, sont égales, et dont les hauteurs AH, A' D', F H', satisfont à la condition

AH=:A'D -hFH';

le rectangle AGBH est égal à la somme des deux autres; car, si Ton prend sur AH une longueur AD égale à A'D', et qu'on mène la parallèle DC à AB, DH sera égale à E'H', en vertu de l'hypothèse. Par suite, des deux rectangles ABCD, DCGH, qui composent le rectangle ABGH, le premier sera égal au rectangle A'B'C'D', et le second au rectangle E'FG'H' (i*').

Corollaires.

406. Le rapport de deux rectangles de même base est égal au rapport de leurs hauteurs; en d'autres termes, l'aire d'un rectangle de base constante est proportionnelle à sa hauteur.

Car le théorème précédent prouve qu'un rectangle de base constante et sa hauteur satisfont aux conditions nécessaires et suffisantes (135) pour qu'il y ait proportionnalité entre ces grandeurs.

407. Comme on peut échanger la base et la hauteur d'un recungle (402), on peut dire aussi que le rapport de deux rectangles de même hauteur est égal au rapport de leur$ bases.

408. En rapprochant les deux derniers énoncés et en vertu de la définition donnée au n*» 403, on peut dire que l'aire d'un rectangle est à la fois proportionnelle à sa base et à sa hauteur. >

Donc ( 404 ), le rapport des aires de deux rectangles quelconques est égal au produit des rapports de leurs bases et de leurs hauteurs; en d'autres termes, deux rectangles quelconques sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur.

409. Laire d'un rectangle a pour mesure le produit du nombre qui mesure sa base par le nombre qui mesure sa hau-

UVRK IV. — LES AIBBS. 277

ieuty lorsque l'on prend pour unité d'aire le carré construit sur l'unité de longueur.

En effet, soient {^g. ^44) ABGH le rectangle à mesurer, et A'B'C D' le carré dont le côté A' B' = A' D' représente Tunité de longueur. On aura ( &08)

ABGH AB AH A'B'C'D'"" A'B' A'B''

Or, le premier membre de cette relation est égal au nombre qui mesure Taire ABGH (128), et les rapports qui composent le second membre sont respectivement égaux aux nombres qui mesurent la base et la hauteur du rectangle proposé. Donc, dans le s^'stème d'unités adopté, le nombre qui mesure Taire du rectangle est égal au produit des nombres qui mesurent sa base et sa hauteur. Ainsi, en désignant ces trois nombres par S, B, H» on a la formule

Comme ce théorème est d'un usage très-fi'équent, on préfère Ténoncer d'une manière plus rapide, quoique incorrecte, en disant simplement : Vaire du rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur.

SCOLIE

' 410. L'aire d'un rectangle est encore égale au produit de sa base par sa hauteur, lorsqu'on prend pour unité d'aire le rectangle ayant pour base la longueur prise pour unité de base, et pour hauteur la longueur prise pour unité de hauteur.

&11. L'aire d'un carré est égale au carré de son côté; de là, le nom de carré donné à la seconde puissance d'un nombre.