Exemples

I" Quelle est la surface d'un rectangle dont la base est égale à 2*, 34, et la hauteur à 3", 19 ?

On a pour Taire demandée :

ou 7 mètres carrés, 46 décimètres carrés, 4^ centimètres carrés.

1^ Il a fallu i5 rouleaux de papier, de \o mètres de longueur chacun sur o^jôo de largeur ^ pour tapisser une paroi rectangulaire de 18", 25 de largeur; quelle est la hauteur de cette paroi ?

La surface du rectangle considéré est

Sa base étant 18'*", 28, on aura pour sa hauteur

H = 7fe = 4",93,

à moins de 1 centimètre.

THÉORÈME

413. Vaire d*un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Fig. 345.

Soit (fig. 245) le parallélogramme ABCD. On obtient le rectangle de même base et de même hauteur en menant des extrémités de la base AB sur le côté opposé les perpendiculaires AF et BE. Pour démontrer le théorème énoncé, il suffit alors (W9) de prouver Téquivalence du parallélogramme ABCD et du rectangle ABEF, Le trapèze ABED est une partie commune à ces deux figures; il reste donc à comparer les parties non communes BEC, AFD. Or, ces parties non communes sont des triangles rectangles égaux, comme ayant l'hypoténuse égale et un côté de l'angle droit égal, savoir : BC=: AD comme côtés opposés d'un parallélogramme, et BE = AF pour la même raison.

Corollaires.

ft.14. En désignant par S, B, H les trois nombres qui mesurent respectivement l'aire d'un parallélogramme, sa base et sa hauteur, on a la formule

LITtB IT. — LES AIt£S. 279

Donc :

Deux parallélogrammes de même base et de même hauteur sont équivalents; deux parallélogrammes. sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur; deux parallélogrammes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs; deux parallélogrammes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

THÉORÈME

415. L'aire d'un triangle a pour mesure la moitié du produit de sa base par sa hauteur.

Fig. a46.

11 suffit, pour démontrer ce théorème, de prouver que tout triangle est la moitié du parallélogramme de même base et de même hauteur.

Soit le triangle ABC (Jig. 246). On obtient un parallélogramme de même base BC et de même hauteur AE, en menant, par les sommets A et C du triangle, des parallèles AD et CD aux côtés opposés. Le triangle ABC est la moitié de ce parallélogramme ABCD, car tout parallélogramme est partagé par une de ses diagonales en deux triangles égaux. Donc, Taire du parallélogramme ABCD étant égale au produit de sa base BC par sa hauteur A£ (M3), Taire du triangle ABC sera égale à la moitié du produit de sa base BC par sa hauteur A£.

COROLLÀIRBS.

M6. En désignant par S, B, H, les trois nombres qui mesurent respectivement Taire du triangle, sa base et sa hauteur, on a la formule

Donc :

Deux triangles de même base et de même hauteur sont équivalents; deux triangles sont entre eux comme les produits

28o GÉOMÉTRIE PLANI.

respectifs de leur base par leur hauteur \ deux triantes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs; deux triangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases,

il7. Quand le triangle est équilatéral, son aire s'exprime en fonction de son côté a.

La hauteur du triangle tombant alors au milieu de sa base, on a en effet

et la formule

devient

Exemple. — Quelle est la surface du triangle équilatéral de 1 mètre de côté ?

On a

a I centimètre carre près.

418. On peut exprimer Paire (Pun triangle en fonction de ses côtés a, b^ c.

Nous, avons trouvé (229), pour la valeur de la hauteur h qui correspond au côté a^ p désignant le demi-périmèlre,

Si l*on multiplie celle hauteur par la moitié de la base ou par ~ 9 il vient

^ = yjp(p-^a)(p^b)(p^c).

Exemple. — Calculer la surface tlu triangle dont les trois c6tés sont

On a

a-\-b '{'C=ip = 2S'',

Par suite,

pz=in«'^ /? — «=!'", p—b = 5'^^ /i — 0=8";