LIVRE IV, — LES AIRES. a8l
et
S = v^i4.i.5.8 = v/56o = ^Z'^.ùy
à { décimètre carré près.
419. Soit R le rayon du cercle circonscrit au triangle dont les trois côtés sont a, b, c. En désignant toujours par h la hauteur qui correspond an côté a^ on a (239) la relation
Si Ton multiplie par a les deux membres de cette égalité et si Ton remplace le produit ah par le double 2 S de la surface du triangle, on trouve
^ïAc = 4.RS, d'où
abc
Ainsi, l*aire dun triangle est égale au produit de\ trots côtés divisé par le double élu diamètre du cercle circonscrit»
En remplaçant S par sa valeur (418) en fonction des côtés, et résolvant par rapport à R, cette formule permet Inversement de calculer le rafon du cercle circonscrit en fonction des côtés, comme nous l'avons vu au n** 339.
420. Si Fon se reporte à la fig. 119 (p. 97), on voit que tout triangle
ABC est la somme de trois autres OBC, OCÂ, OAB, ayant pour sommet
commun le centre 0 du cercle inscrit, c'est-à-dire pour hauteur constante
le rayon r de ce cercle, et pour bases respectives les côtés a^ b, c. On peut
donc écrire
ar br rr a -hb-^-r S= 1 1 = r = p,r.
Ainsi, l*aire (Pun triangle est égale au produit du demi-périmètre par le rayon du cercle inscrit.
Cette formule, mise sous la forme r = -> permet inversement de calculer le rayon du cercle inscrit dans un triangle en fonction des trois côtés.
421. En se reportant à h /g. 120 (p. 97), 0' étant le centre et r' le rayon O'I'de Tun des cercles ex-inscrits, on a l'égalité
ABC = OAB -4- O'AC - 0 'BC, c'est-à-dire
rr' br' ar' rA-h — n , 'kp — ia
OU
282 GÉOMiTRlE PLAIf£.
On trouverait de même, en considérant les rayons r' et r'" des deux autres cercles ex-inscrits,
Ces formules permettent inversement de calculer les raxons des cercles ex-inscrits à un triangle en fonction des trois côtés.
422. Si Ton multiplie membre à membre les valeurs du rayon du cercle inscrit et des rayons des trois cercles ex-inscrits, il vient
d'où
r. r'.r'.r" = —, j-r-, = ëâ = ",
L'aire d'un triangle est donc encore égale à la racine carrée du produit des rayons des quatre cercles inscrit et ex-inscrits.
423. Pour évaluer l'aire d'un polygone, il suffit de décomposer ce polygone en triangles, de calculer les aires de ces triangles et de faire la somme des nombres ainsi obtenus.
Pour opérer cette décomposition, on peut choisir un point quelconque dans le plan du polygone et le joindre à tous ses sommets. Les bases des différents triangles formés seront les côtés du polygone, leurs hauteurs seront les perpendiculaires abaissées du point choisi sur ces côtés. L'aire du polygone sera la somme arithmétique ou algébrique des aires des triangles obtenus, suivant que leur sommet commun sera intérieur ou extérieur au polygone.
Souvent, on fait la décomposition en prenant pour centre l'un des sommets du polygone, c'est-à-dire en menant toutes les diagonales qui partent d'un même sommet.
kik. Si l'on peut trouver dans l'intérieur du polygone un point à égale distance de tous ses côtés, c'est-à-dire si le poly^ gone est circonscriplible, les triangles qui le composent ont pour hauteur commune le rayon du cercle inscrit, et son aire a pour mesure la moitié du produit de son périmètre par le rayon du cercle inscrit.
THÉORÈME
425. L'aire d'un trapèze a pour mesure le produit de la demi-somme de ses bases par sa hauteur.
Soit le trapèze ABCD (Jig. 247 )• En menant la diagonale BC,
