LIVRE IV. — LES AIRES

SCOLIES

435. On peut donner du théorème q^ii précède (432) une autre démonslralion qui montre comment on peut décomposer effectivement le carré construit sur l'hypoténuse en parties capables de recouvrir les carrés construits sur les côtés.

Soit (fig, 252) le triangle ABC rectangle en A. Sur l'hypoténuse BC, construisons le carré BCHK. Des sommets H et K,

Fig. jSi.

ClCr-

abaissons sur le côté AB et sur son prolongement les perpendiculaires ÏÏG et Kl; des sommets C et K, menons à ce même côté, jusqu'à la rencontre de HG, les parallèles CF et KL.

Les quatre triangles rectangles ABC, CFH, HLK, KIB, sont égaux, comme ayant l'hypoténuse égale et un angle aigu égal. GIKL et ACFG sont donc les carrés construits sur les côtés AB et AC du triangle donné. La figure montre alors immédiatement que, si l'on enlève les deux triangles HCF, HLK, qui, avec le pentagone irrégulier CFLKB, constituent le carré construit sur l'hypoténuse, pour les placer en CAB et BKI, on forme, avec les trois niomes parties disposées de cette nouvelle façon, la figure ACFLKÏ, qui est précisément la somme des deux carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit.

436. Enfin, on peut encore déduire le môme théorème de celui du n" 224. Car, puisque l'aire du carré construit sur une droite a pour mesure le carré du nombre abstrait qui mesure la longueur de cette droite, on voit que le théorème du ri" 224 exprime que la mesure du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des mesures des carrés construits sur les côtés de l'angle droit, et, par suite, que le premier carré équivaut à la somme des deux autres. Inversement, on passerait du point de vue concret au point de vue

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abstrait, c'esl-à-dire du n" 432 au n" 224, en remplaçant les aires des carrés par leurs mesures respectives.

La même remarque s'applique aux diverses relations nun>ériques que nous avons démontrées dans le § IV du livre III, entre les divers éléments d'un triangle rapportés à une unité commune. De ces relations, résultent immédiatement autant de théorèmes sur les aires, et Ton pourrait inversement donner des démonstrations directes de ces derniers théorèmes et en déduire ensuite les relations numériques correspondantes.