UI. - AIRES DU POLYGONE RÉGULIER ET DU CERCLE

DÉFI!<(ITI0NS

437. Un secteur circulaire est la portion de cercle comprise entre un arc ACDB et les rayons OA, OB, menés aux extrémités de cet arc (Jig. 253 ).

Un secteur polygonal régulier est la portion de plan comprise entre une ligne brisée régulière ACDB et les rayons OA, OB, menés du centre 0 de cette ligne (268) à ses extrémités. En divisant en un nombre quelconque de parties égales Tare AB du secteur circulaire OAB et joignant les points de division, on obtient un secteur polygonal régulier OACDB inscrit dans le secteur circulaire.

Fig. a53.

THÉORÈME

438. L'aire d'un polygone régulier a pour mesure le produit de son périmètre par la moitié de l'apothème {Jig. 254).

En effet, enjoignant le centre 0 du polygone régulier ABCDEF à tous ses sommets, on décompose ce polygone en triangles OAB, OBC,.. ., OFA, qui ont respectivement pour bases les côtés AB, BC,..., FA, et pour hauteur commune Tapothème OG.

UVRB IV. — LSS AIRES. 29 1

La somme des aires de ces triangles, c'esl-à-dire l'aire du polygone, a donc pour mesure le produit de la somme des côtés AB, BC, . . . , FA, par la moitié de l'apothème OG, c'est-à-dire le produit du périmètre par la moitié de Tapothème.

En désignant par S, /?, a. Taire, le périmètre et Tapothème du polygone proposé, on a donc la formule

Corollaire.

439. Le rapport des aires de deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés est égal au rapport des carrés de leurs apothèmes ou de leurs rayons.

En effet, soient p, a, r, le périmètre, Tapothème et le rayon du premier polygone, et p', a', r', le périmètre, Tapothème et le rayon dii second. En vertu du théorème précédent, le rapport des aires est égal à

ipa , p a

T^-V-T ou a -^

ip'«' P «

D'ailleurs, on a (269)

Le rapport des aires est donc égal à

-f- ou a — •

Cette proposition résulte encore de ce que deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables (269), et de ce que les aires de deux polygones semblables sont entre elles comme les carrés de leurs droites homologues (429, 216).

SCOLIES

440. Par un raisonnement analogue à celui du n® 438, on prouverait que Vaire d'un secteur polygonal régulier OACDB ijig, 253 ) a pour mesure le produit du périmètre de la ligne brisée régulière ACDB par la moitié de l'apothème OL

4i1. Soit OâB un secteur circulaire (y^. 253). En divisant Tare ÂB en un nombre quelconque n de parties égales et menant des tangentes par les milieux des points 4e division ainsi obtenus, on forme deux secteurs polygonaux réguliers OACDB, OA'C'D'B', semblables, l'un inscrit et l'autre circonscrit au secteur circulaire OAB. Si l'on désigne par « et p Tapothème et le périmètre de la ligne brisée régulière ACDB, et par a! etp' l'apothème et le périmètre de la ligne brisée régulière A'C'D'B', le

rapport des aires des deux secteurs polygonaux sera — , • — 7 . D'ailleurs,

nous avons vu au n** 290 que lorsqu'on fait croître n indéfiniment suivant une

loi quelconque, les rapports --,7 —,^ ont pour limite lunité. Donc, il en est

de môme du rapport -^j et par suite, à fortiori, du rapport du secteur

circulaire à chacun des deux secteurs [)olygonaux qui le comprennent. Donc :

L'aire (fun secteur circulaire est la limite commune des aires des secteurs polygonaux réguliers semblables inscrit et ci/ronscrit, lorsquonfait croire indéfiniment le nombre des côtés.

Et, de môme, l'aire d'un cercle est la limite commune des aires des polygones réguliers semblables inscrit et circonscrit, dont on fait croître indéfini ment le nombre des côtés.

Il importe de remarquer qne ces deux énoncés sont de véritables t/u^orèmes, tandis que les énoncés analogues ( 289 ) sur la longueur de l'arc et de la circonférence ne sont que des définitions,

THÉORÈME

4^42. Laire d'un cercle a pour mesure le produit de sa circonférence par la moitié du rayon.

L'aire du cercle est la limite des aires des polygones réguliers inscrits dont le nombre des côtés croît indéfiniment. D'après cela, soient S, C, R, Taire, la circonférence, le rayon du cercle considéré, et s, p, a, l'aire, le périmètre et Tapoihème d'un polygone régulier inscrit dans ce cercle. On a ( W8)

Lorsqu'on fait croître indéOniment le nombre des côtés du polygone régulier inscrit, s tend vers S, p vers C et a vers R. On a donc, à la limite,