LIVRE IV. — LES AIRES
Si n est le nombre de degrés de Tare, le rapport de cet arc
à la circonférence sera ^7^5 ei par suite l'aire S du secteur
s'obtiendra en multipliant par ce rapport l'aire ttR^ du cercle, de sorte qu'on aura
Celle formule permet de calculer l'une quelconque des quantités S, R» n, lorsqu'on connaît les deux autres.
kh^. Exemples.
!** Quelle est l'aire du secteur de 60 degrés dans le cercle dont le rayon est 1 o mètres ?
L'arc de 60 degrés étant le sixième de la circonférence, le secteur correspondant est le sixième du cercle, c'est-à-dire
à moins d'un centimètre carré.
1^ L'aire d'un secteur est égale à l'aire du carré construit sur le rayon. Quel est le nombre de degrés de rare qui le termine ?
La formule
3bo
donne
36o° 71= = ii4"3ii'29",6.
TT
3** Quel est le rayon du cercle dans lequel le secteur de 45 degrés renferme o™*î, i i5o ?
La formule
ttR* :^ == o,i25o ou 7rR' = 0,125o.8= I
ÛOO
donne
450. Le rapport des aires de deux secteurs semblables, c'est-
à-dire terminés par des arcs semblables, est égal au rapport des carrés de leurs rayons.
En effet, S, /, R, étant Taire, la longueur de Tare et le rayon du premier secteur, et S', /', R', Faire, la longueur de Tare et le rayon du second secteur, on a
S = /.iR. S' = /'.iR', d'où l^-^l-,
or, les deux arcs / et /' étant semblables, leur rapport est égal à celui de leurs rayons (296) : on a donc
THÉORÈME
451. L'aire d'un segment circulaire a pour mesuic le produit de la moitié du rayon par Vexcès de son arc sur la moitié de la corde de Varc double (fg. 255).
Fig. 25S.
En effet, le segment AMB, c'est-à-dire la portion du cercle comprise entre Farc AMB et sa corde AB, est égal à l'excès de Faire du secteur OAMB sur Faire du triangle OAB. Or, Faire
du secteur a pour mesure arcAB«-OA; Faire du triangle a
pour mesure BP-- OA, BP étant la perpendiculaire abaissée du
point B sur le rayon OA, c'est-à-dire la moitié de la corde BB' de Farc BAB' qui (102) est le double de Farc AB. On a donc, en désignant par S Faire du segment,
S := arc AB . i OA - - BB'. i OA , 2 * 2 2
