IV. - PROBLÈMES SUR LES AIRES

PROBLÈME

454. Construire un triangle équivalent à un polygone donné (/gr. 256, 257).

Fig. 356.

FIg. 267.

Soit, par exemple, le pentagone convexe ABCDE [fig. ^56). En menant la diagonale EC, on détache de ce pentagone le triangle ECD. Si par le sommet D on mène alors une parallèle DF à la diagonale EC, tous les triangles qui auront £C pour base et leurs sommets sur DF seront équivalents au triangle ECD (416), et formeront avec le quadrilatère ECBA un polygone équivalent au pentagone proposé. Or, pour que le nouveau polygone ABCFEait un sommet de moins, il suffit de choisir parmi tous ces triangles celui dont le sommet est en F, à la rencontre de la parallèle DF et du côté BC prolongé.

La construction indiquée permettant de transformer un polygone quelconque en un polygone équivalent, mais ayant un côté de moins, on arrivera toujours, en la répétant, à un triangle équivalent au polygone proposé.

Dans la Jig. 256, en menant par le sommet A, jusqu'à la rencontre de FB prolongé, la parallèle AG à la diagonale EB, on passe du quadrilatère EABF au triangle équivalent FEG. Ce triangle est donc équivalent au pentagone primitif.

455. Lorsque le polygone considéré n'est pas convexe {Jig. 257), la construction reste la même. Le pentagone concave ABCDE, augmenté du triangle EDC, équivaut au quadrilatère ABCE; et ce quadrilatère, diminué du triangle EFC, qui est équivalent au triangle EDC, donne le quadrilatère ABFE équivalent au pentagone proposé.

LIVRB lY. — LB8 AIRES. 299

SCOLIE

456. Le problème précédent fournit un nouveau moyen pour évaluer Faire d'un polygone; on peut, en effet, transformer le polygone considéré en un triangle équivalent, puis calculer l'aire de ce triangle.

Appliquons ce procédé à la recherche de Taire du trapèze.

Fig. 258.

Soit (yîg. 258) un trapèze quelconque ÀBCD. Menons la diagonale DB et la parallèle CE à cette diagonale jusqu'à la rencontre de la base AB prolongée.

Le triangle ADE sera équivalent au trapèze ABCD. Il a d'ailleurs même hauteur DF, et sa base A£ est la somme des deux bases du trapèze. On retombe ainsi sur la mesure connue (425).

PROBLÈME

457, Construire un carré équivalent à un polygone donné.

Supposons d'abord qu'on veuille construire un carré équivalent à un triangle donné. Soient X le côté de ce carré, B et H la base et la hauteur du triangle proposé. On devra avoir (411, 415)

Le côté du carré cherché sera donc une moyenne proportionnelle à la moitié de la base du triangle et à sa hauteur.

S'il s'agit d'un parallélogramme, d'un trapèze, d'un polygone régulier et, en général, d'un polygone dont l'aire soit exprimée par le produit de deux lignes, il suffira de chercher la moyenne proportionnelle à ces deux lignes. On obtiendra ainsi le côté du carré équivalent.

Dans tout autre cas, on transformera le polygone donné en un triangle équivalent (454), et on cherchera le carré équivalent à ce triangle, comme on vient de le dire.

30O GfiOMÉTRIE PLANE.

PROBLÈME

458. Trouver deux droites proportionnelles à deux polygones donnés.

On pourra toujours remplacer les polygones considérés par les carrés équivalents (457). Soient a et a' les côtés de ces carrés, x et y les droites cherchées. On devra avoir

On peut choisir arbitrairement Tune des deux droites cherchées, y par exemple, et poser j = a'. Il vient alors

-7 = —, ou ^=--

a rt ' a

X sera donc, dans celle hypothèse, une troisième proporiionnelle (248) aux côlés a! et «; et le rapport de celle troisième proportionnelle à a' sera le même que celui des polygones donnés.

PROBLÈME

459. Construire un polygone équivalent à un polygone P et semblable à un polygone Q.

Il s'agit ici de transformer un polygone donné P en un autre polygone X équivalent au polygone P, mais semblable à un second polygone donné Q.

Soient q un côté quelconque du polygone Q, et x le côté homologue du polygone X. On devra avoir (429)

X""a:^' OU, puisque le polygone X doit cire équivalent au polygone P,

Remplaçons les polygones Q et P par les carrés équivalents a* et 6»(W7). Il viendra