LIVRE IV. — LES AIRES. 3oi

Le côlé X est donc une quatrième proportionnelle aux trois droites a, ft, q (247), et il restera à construire sur ce côlé, homologue du côté 9, un polygone semblable au polygone Q (253).

PROBLÈME

460. Deux figures semblables étant données, construire une figure semblable égale à leur somme ou à leur différence,

S*il s'agit de deux carrés dont les côtés soient a et 6 («>&), le côté X du carré égal à leur somme sera l'hypoténuse du triangle rectangle ayant pour côtés de l'angle droit a et 6; le côté y du carré égal à leur différence sera le second côlé de l'angle droit d'un triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et b pour premier côté de l'angle droil (4-32).

S'il s'agit de deux polygones semblables A et B(A>B), dont deux côtés homologues quelconques soient a et b, le côté homologue x du polygone semblable X = A -f- B sera l'hypoténuse du triangle rectangle construit sur a et b comme côtés de l'angle droit; le côlé homologue y du polygone semblable Y = A — B sera le second côté de l'angle droit du triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et b pour premier côté de l'angle droit ( 434).

Dans le cas de deux cercles ayant R et R' pour rayons, il suffit de remplacer dans l'alinéa précédent a et ^ par R et R', pour trouver les rayons x et r des cercles égaux respecilvementà la somme ou à la différence des deux cercles donnés.

SCOLIE

461. Soit à construire une droite x liée à plusieurs longueurs données «, 6, c, d, e, par une expression de la forme

X = ^a^-h b' — c^ -hd^— e\

On cherchera d'abord a=^>Ja^-\- b^ à l'aide d'un triangle rectangle ayant a et 6 pour côtés de l'angle droit : a sera l'hypoténuse de ce triangle; puis {3 == ^oi? — c', à l'aide d'un triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et c pour côlé de l'angle droit; p sera le second côté de ce triangle. De même, on cherchera y = yP'-4- (/' et x= y^y- — e^, par deux autres triangles

302 GfiOMÉTRIE PLANE.

rectangles ayant, le premier (3 et rf pour côtés de l'angle droit, le second y et e pour hypoténuse et côté de Tangle droit : X sera le second côté de ce dernier triangle.

ScouE.

462. Il résulte du dernier alinéa du n*" 460 que si, sur les trois côtés d'un triangle rectangle ABC {/ig, 269) comme dia-

Fîg. 259.

mètres, on décrit desdemi-cercles, ledemi-cercledécritsurl'hypoiénuse sera équivalent à la somme des demi-cercles décrits sur les côtés de l'angle droit. £n enlevant de part et d'autre les parties communes ApB, À^C, qui sont ombrées sur la figure, on voit que la somme des deux lunules AmBpA, ÀnC^Â, est équivalente à l'aire du triangle rectangle ABC. Cette proposition est attribuée à Hippocrate.

PROBLÈME

463. Construire un polygone semblable à un polygone donné , et dont l'aire soit à celle de ce polygone dans le rapport de deux droites données M «/ N (Jig' 260 ).

Fig. 260.

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