QUESTIONS DIVERSES DE GÉOMÉTRIE PLANE

492. Étant donnés les milieux des côtés d'un polygone convexe d un nombre impair de côtés, déterminer ses commets en employant seulement le compas.

493. Construire un triangle rectangle tel, qu'un de ses côtés soit la moyenne proportionnelle de l'hypoténuse donnée et de l'autre côté.

494. Construire un triangle égal à un triangle donné et dont les trois côtés passent respectivement par trois points donnés.

495. On donne un demi-cercle de diamètre ÂB; soit C un point quelconque de ce diamètre. On décrit deux autres demi -cercles sur AC et CB comme diamètres, et l'on mène à AB une perpendiculaire par le point C. Démontrer que les deux cercles inscrits de part et d'autre de cette perpendiculaire sont égaux entre eux. %

496. Si deux cordes de rayons égaux se coupent en A et en B et si, par le point A, on mène la droite AEC qui rencontre respectivement les deux cercles en E et en C, le triangle ESC est équivalent à l'aire comprise entre les deux arcs BE et BC et le côté £C.

497. Trouver, sur la droite qui joint les centres de deux triangles équilatéraux donnés, un point tel, que les sommes respectives des carrés de ses distances aux c^tés des deux triangles soient dans un rapport donné.

498. Inscrire dans un cercle donné un triangle isocèle dont la somme de la base et de la hauteur soit égale à une droite donnée.

499. Étant donnés une circonférence et un triangle, trouver sur la cir-

UTR« IT. LES A»B8. 325

oonférence un point tel, que la somme des carrés de ses distances aux trois sommets du triangle soit égale à un carré donné.

500. Étant donnés un cercle et une tangente à ce cercle, trouver sur sa circonférence un point dont la somme des distances à la tangente et à son point de contact soit égale à une droite donnée.

501. On partage une droite donnée en moyenne et extrême raison; puis le plus grand segment trouvé en moyenne et extrême raison, et ainsi de suite indéHniment. Vers quelle limite tend la somme des plus grands segments ainsi obtenus?-

502. Étant données la hauteur d'un triangle et les différences de chacun des segments qu'elle détermine sur la base avec le côté adjacent, construire le triangle.

503. Si, du sommet de langle droit d'un triangle rectangle, on mène des droites aux sommets opposés du carré construit sur Thypoténuse, la différence des carrés de ces droites est égale à la différence des carrés des c6tés du triangle.

504. Étant donnés sur une droite trois segments AB = <i, BC = 6, DC = r, déterminer le point P d'où ces trois segments sont vus sous le même angle; discussion. — Application aux valeurs

505. Soient six points pris dans un plan, les trois premiers A, C, E, sur une même droite, les trois autres, B, D, F, sur une autre droite. Démontrer que les trois intersections de AB et de DE, de BC et de EF, de CD et de AF sont en ligne droite.

506. Étant donnés deux cercles concentriques, mener au plus petit une tangente telle, que si Ton joint respectivement les points A et B où elle coupe le second cercle avec deux points C et D donnés dans le plan des deux cercles, les droites AC et BD soient parallèles.

507. Dans un triangle ABC, on mène la bissectrice AK de Tangle au sommet et la hauteur AF correspondante; des extrémités B et C de la base, on abaisse sur la bissectrice AK les perpendiculaires BD et CE; démontrer que le cercle déterminé par les trois points F, D, E, passe par le milieu G de la base BC, et que Taire du triangle équivaut au rectangle BD.AEouCE.AD.

508. On ne peut pas inscrire dans un carré un triangle plus grand que la moitié de ce carré.

509. Démontrer que D étant un point quelcontiue de la base BC d'un triangle ABC, et AD la droite qui le joint au sommet du triangle, on a

ÂB'.CD-hÂC*.BD = ÂD'.BC-hBG.BD.CD.