AB<AC

37. Réciproquement, si un triangle a deux côtés égaux, c'està-dire est isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux; et si un triangle a deux côtés inégaux y au plus grand côté est opposé le plus grand angle.

En effet, soient a et ft deux côtés d'un triangle, et A et Blés deux angles opposés. Le théorème précédent prouve qu'aux trois hypothèses

qui sont les seules possibles, répondent respectivement les conclusions distinctes

Donc, si a est égal à &, A est forcément égal à B, car si A était inférieur ou supérieur à B, a serait, d'après le théorème direct, inférieur ou supérieur à 6; de même, si a est plus grand que &, il faut que A soit plus grand que B, et si a est plus petit que 6, il faut que A soit plus petit que B.

SCOLIB. .

38. La démonstration du n® 36 (i") met en évidence cette propriété dont jouit tout triangle isocèle, d'être superposable à lui-même par retournement. Cette propriété caractéristique est la clef des autres propriétés du triangle isocèle.

Ainsi {Jig. 3i), dans ce retournement du triangle isocèle BAC, B venant en C et C en B, le milieu 1 de BC retombe sur lui-même aussi bien que le sommet A. Par suite, l'angle Aie vient recouvrir son adjacent et supplémentaire AIB, et l'angle CAl son adjacent BAL Donc, dans tout triangle isocèle BAC, la droite qui joint le sommet A au milieu I de la hase BC est perpendiculaire sur cette base et divise l'angle au

UTRB I. — L.i LIGNE DVOITE. Il

tommet en deux parties égales. Cela résulterait aussi de l'égalité des triangles ABI, AGI, qui ont évidemment les trois côtés épux chacun à chacun.

Fij. 3i.

La droite AI satisfait donc aux quatre conditions suivantes : elle passe par le sommet A, par le milieu I de la base BG, elle est perpendiculaire sur cette base, elle est bissectrice de l'angle au sommet.

Or, deux de ces quatre conditions suffisent pour déterminer la droite AI; car on sait que par deux points on ne peut mener qu'une droite, qu'un angle n'admet qu'une bissectrice, et que par un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire à une droite. Donc, toute ligne droite, assujettie à deux des quatre conditions indiquées, remplira nécessairement les deux autres.

39. Tout triangle dont les trois angles sont égaux est équilatéral^ et, réciproquement, tout triangle équilatéral a ses trois angles égaux.

40. Le mode de démonstration qui précède (37) est d'un usage très-fréquent en Géométrie, et il convient de l'ériger dès à présent en règle générale.

Lorsque, dans une proposition ou dans une série de propositions, on a fait toutes les hypothèses admissibles, et que ces hypothèses ont conduit à des conclusions respectives essentiellement distinctes, les réciproques des propositions établies sont toutes vraies.

Ainsi, en rapprochant les théorèmes démontrés aux n"» 33 et 34, on voit que si deux triangles ABC, A'B'C, ont deux côtés respectivement égaux chacun à chacun, savoir \B = X' B\ e/ AC=:A'C', le troisième côté BC du premier triangle est inférieury égal ou supérieur au troisième côté B'C du second, suivant que V angle opposé A du premier triangle est inférieur, égal ou supérieur à l'angle opposé Af du second. Donc réel-

proquement, si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun, l'angle que ces côtés comprennent dans le premier triangle est inférieur, égal ou supérieur à V angle compris entre les deux côtés correspondants du second triangle, suivant que le troisième côté du premier triangle est inférieur, égal ou supérieur au troisième côté du second,