LIVRE V. — LE PLAN. . I

esi le lieu des projections «, ft, c,... des divers points de celle

529. La projection d'une ligne droite AB sur un plan V est une ligne droite [fig^ 287 ).

Car toutes les perpendiculaires Aa, B6,. . . abaissées sur le plan P par les divers points de la droite AB sont parallèles (519); leur lieu est donc un plan (4^87), et, par suite, le lieu de leurs pieds est la droite ab suivant laquelle ce plan coupe le plan P.

SCOLIES

530. Lorsque la droite est, comme £F, perpendiculaire au plan P, sa projection sur ce plan se réduit évidemment à un point e.

531. Lorsque la droite est, comme CD, parallèle au plan P, elle est parallèle à sa projection cd sur ce plan (500).

Corollaires.

532. Les projections ab et cd de deux droites parallèles AB et CD, sur un même plan P, sont parallèles (Jig, 288).

Fi0. 288.

r/^VI

Car la projetante \a d'un point quelconque de AB et la projetante Ce d'un point quelconque de CD étant parallèles, les angles BA a, DCc, ont leurs plans parallèles (508); et, par suite, les droites ab et cd, suivant lesquelles le plan P coupe ces deux plans, sont parallèles.

l8. GÉOMÉTRIE DANS l'bSPACE.

THÉORÈME

533. Lorsque deux droites AB et CD de l'espace sont perpendiculaires l'une à l'autre, leurs projections ab et cd sur un planV parallèle à l'une d'elles CD, sont aussi perpendiculaires entre elles [fig. 28g).

Fig. 289. Fig. 290.

bJ

En effet, la droite cd est, comme sa parallèle CD, à angle droit sur AB; elle est d'ailleurs à angle droit sur la projetante Aa, droite perpendiculaire au plan P qui contient cd. Donc, cd est perpendiculaire au plan khab et, par suite, à ab.

534. Réciproquement, deux droites de l'espace AB et CD, sont perpendiculaires l'une à l'autre si leurs projections ab et cd sur un plan P parallèle à l'une d'elles CD sont perpendiculaires entre elles (fi^. 289).

En effet, la droite cd étant à angle droit sur ab et sur Aa, est perpendiculaire au plan ABfra. 11 en est donc de même de sa parallèle CD, qui, par suite, est perpendiculaire à AB.

Dans le cas très-particulier où le plan P contient CD et où les droites AB et CD se coupent, cette réciproque revient au Théorème connu sous le nom de Théorème des trois perpendiculaires^ et qu'on énonce habituellement sous la forme suivante, d'ailleurs assez incommode dans les applications :

Si du pied a d'une perpendiculaire Aa à un plan P, on mène la perpendiculaire aB sur une droite quelconque CD tracée dans ce plan, la droite AB qui joint au point B un point quelconque de la perpendiculaire A a sera perpendiculaire à CD {fig. 290).

LIYRB V. — LE PLAN.

Corollaire.

535. Considérons une droite quelconque AB et un plan Q perpendiculaire à cette droite; soient ab la projection de AB sur un plan quelconque P {fig. 291), et CD Tintersection des plans P et Q, ou, comme on dit, la trace du plan Q sur le plan P. Les deux droites AB et CD étant perpendiculaires Tune à l'autre, il doit en être de même de leurs projections a6 et CD; de là ce théorème, fondamental en géométrie descriptive : Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan Q, sa projection sur un plan quelconque P est perpendiculaire à la trace du plan Q sur le plan P.

Fig. 291.

Fig. 292

THÉORÈME

536. Lorsqu'une droite AB est oblique à un plan P, l'angle aiguBXb que cette droite fait avec sa projection sur ce plan, est moindre que l'angle BAC qu'elle forme avec toute autre droite AC passant par son pied dans le plan (Jig. 292).

En effet, b étant la projection d'un point quelconque B de la droite AB, prenons AC = Ai, et menons BC. Les deux triangles BA6, BAC ont deux côtés égaux; mais le troisième côté B6 du premier étant moindre que le troisième côté BC du second, puisque la perpendiculaire est plus courte que l'oblique, il faut que l'angle BA6 soit moindre que l'angle BAC.

SCOLIE

537. En faisant parcourir au point C le cercle décrit dans Je plan P, du point A comme centre avec Ai pour rayon, on voit que l'oblique BC croît d'une manière continue depuis le point b jusqu'au point b\ puis décroit en reprenant successivement les mêmes valeurs depuis 6' jusqu'en 6. Par suite, l'angle BAC,' minimum lorsque le point C est en 6, croit jusqu'à ce que le

point C soit en 6' : il est alors maximum; puis il décroît en reprenant successivement les mêmes valeurs depuis 6' jusqu'en 6.

538. On appelle angle d'une droite et d'un plan Tangle aigu que cette droite forme avec sa projection sur ce plan.

On voit aisément que l'angle d'une droite D et d'un plan P est égal à V angle d'une droite quelconque D' parallèle àD et d'un plan quelconque P' parallèle à P.

THÉORÈME

539. Étant données deux droites AB et CD non situées dans le même plan: i" // existe une droite, et une seule, qui les, rencontre l'une ^t l'autre à angle droit; t.^ cette perpendiculaire commune est la plus courte distance des deux droites

Fig. 293. Fig. agi.

En effet :

I" Par un point quelconque A de AB, menons la parallèle A£ à CD; le plan BAE, que nous désignerons par P, sera parallèle à CD; par suite nous aurons la projection de CD sur ce plan P en menant une parallèle de à la droite DC par la projection d d'un point quelconque D de cette droite. Cela posé, pour qu'une droite rencontre à la fois AB et CD à angle droit, il faut et il suffit qu'elle soit perpendiculaire au plan P en un point de AB, et qu'elle ait son pied sur cd, lieu des pieds des perpendiculaires au plan P menées par les divers points de CD. Or la perpendiculaire au plan P élevée par le point c commun à AB et à cd remplit seule ces conditions. Il existe donc une droite Ce, et une seule, qui rencontre à angle droit les deux droites données AB et CD.

ti" Cette perpendiculaire commune Ce est moindre que toute autre droite BD joignant un point de AB à un point de CD. Car, Drf étant la projetante du point D, on a évidemment Cc = Drf, et Drf<DB.