LIVRE V. — LE PLAN
SCOLIES
540. La démonstraiion qui précède permet d'obtenir la plus courte dislance des deux droites AB ei CD. Voici un second procédé très-usuel [Jig. 294).
On projette l'une des droites CD sur un plan P perpendiculaire à l'autre droite AB. Du pied A de AB sur le plan P, on abaisse la perpendiculaire ke sur la projection Cd de CD; on mène e£ parallèle à AB jusqu'à sa rencontre E avec CD, et enfin £F parallèle à Ae. Le lecteur démontrera sans peine que cette droite EF est en grandeur et en position la plus courte distance des deux droites données.
541. Souvent, dans la pratique, on n'a besoin que de la longueur de la plus courte dislance; il suffit alors de mener par l'une AB des deux droites un plan P parallèle à l'autre CD, et de prendre la distance Dfif d'un point quelconque de CD au plan P(/g^. 293).
§ VII. - ANGLES DIÈDRES.
DÉFINITIONS
542. Lorsque deux plans P et Q se rencontrent (Jig. 295) et sont terminés à leur intersection commune BE, on dit qu'ils forment un angle dièdre. Les deux plans P et Q sont les /«ce*, et la droite BE est Varéte de cet angle.
Pour désigner un angle dièdre isolé, il suffit d'indiquer son arête; ainsi l'on dit (fg. 295) l'angle dièdre BE. Mais lorsque plusieurs angles dièdres ont la même arête, pour désigner celui d'entre eux que l'on considère, il faut employer quatre lettres, savoir : une lettre pour chaque face et deux pour l'arête; on
Fig. 395.
Fig. 296.
VH
place d'ailleurs les deux lettres relatives à l'arête entre les deux
autres. Ainsi, dans la^g". 296, on dislingue les trois dièdres CABD, DABE, CABE.
Deux angles, tels que CABD, DABE [fig. 296), qui ont la même arête AB, une face commune ABD, et les deux autres faces situées de part et d'autre de la face commune, sont dits adjacents.
643. Deux angles dièdres sont égaux lorsqu'on peut les faire coïncider. Pour ajouter deux angles dièdres, on transporte le second à la suite du premier de manière à former deux angles adjacents, tels que CABD, DABE [Jig. 296); Tangle CABE des deux faces non communes ABC, ABE, est la somme des deux angles dièdres proposés.
544. On acquiert une idée nette de la grandeur de l'angle dièdre, en supposant que l'une des faces P d'abord appliquée sur l'autre face Q (Jig. 298), tourne autour de la droite AB; dans cette rotation, le plan mobile P fait avec le plan fixe Q un angle dièdre qui crott d'une manière continue.
Fig. 297. Fig. agS.
Ax -Vît/ a /
Un plan Pa est ^\i perpendiculaire sur un plan QQ' [fig» 298), lorsque les deux angles adjacents PtABQ, PaABQ', qu'il forme avec celui-ci, sont égaux. Un plan P, qui forme avec QQ' des angles adjacents PABQ, PABQ', inégaux, est dit oblique sur le plan QQ'.
On nomme angle dièdre droit tout dièdre Pj ABQ dont une face est perpendiculaire sur l'autre.
545. Deux angles dièdres sont dits opposés par Varéte lorsque les faces de l'un sont les prolongements des faces de l'autre. Deux plans indéfinis PP', QQ' [Jig. 299) forment en se coupant quatre angles dièdres qui sont deux à deux opposés par l'arête AB.
UVRB V. — LE PLAN. 23.
On nomme plan bissecteur d'un angle dièdre le plan qui, mené par Tarête, divise cet angle dièdre en deux autres égaux entre eux.
546. On appelle angle plan correspondant à un angle dièdre Tangle rectiligne que Ton forme en élevant, par un même point de l'arête, une perpendiculaire à cette arête dans chacune des faces. Ainsi, B étant un point de Tarête B£ de l'angle dièdre PEBQ {Jig. 297), si l'on élève dans le plan P la perpendiculaire BA sur l'arête B£, et dans le plan Q la perpendiculaire BC sur 1 arête B£, l'angle ABC sera V angle plan du dièdre considéré.
Pour que cette définition ne soit pas contradictoire, il faut que la grandeur de l'angle plan correspondant à un angle dièdre soit la même, en quelque point de l'arête qu'on forme cet angle plan. Or, soient les angles plans ABC, DËF, formés en deux points A et E de l'arête de l'angle dièdre PBEQ (^g, 297): les côtés BC et EF sont parallèles et de même sens, comme étant, dans un même plan Q, perpendiculaires à la même droite BE; il en est de même de BA et de ED par rapport au plan P; les angles ABC, DEF, sont donc égaux.
Il est à remarquer que le plan ABC est perpendiculaire à l'arête BE ; réciproquement, tout plan perpendiculaire à l'arête coupe les faces suivant des perpendiculaires à cette arête, et par suite l'angle dièdre suivant son angle plan.
THÉORÈME
5W. Par une droite AB, située dans un plan QQ', on peut toujours élever un plan P, perpendiculaire sur ce plan, et on ne peut en élever qu'un (Jig* 298).
Corollaires.
