LIVRE V. — LE PLAN. 3l
l'arête SA, ayant la tête en S, les pieds en A, et regardant Tintérieur de l'angle SABCDE, verrait les arêtes se présenter de
Fig. 3ii.
droite à gauche dans Tordre SB, SC, SD, SE; tandis qu'un observateur placé de la même manière dans l'autre angle SA'B'C'D'E', c'est-à-dire couché sur SA', ayant la tête en S, les pieds en A' et regardant l'intérieur de l'angle, verrait les arêtes se succéder de droite à gauche dans Tordre inverse SE', SD',SC', SB'.
A cause de cette différence de disposition, deux angles polyèdres symétriques, bien qu'égaux dans toutes leurs parties, ne sont pas superposât les.
En effet, considérons, par exemple, deux trièdres symétriques SABC et SA'B'C {Jig. 3i i), et supposons, pour fixer les idées, que l'arête SC soit en avant du plan ASB, et, par suite, que son prolongement SC soit en arrière du même plan. Il y a deux manières différentes d'essayer la superposition des deux trièdres.
1** Concevons (Jig. 3ii) la perpendiculaire élevée par le point S sur le plan ASB, et faisons tourner le trièdre SA'B'C de 180 degrés autour de cette droite dans le sens de la flèche/; Tarêie SA', qui dans ce mouvement ne sort pas du plan ASB, viendra sur SA ; de même SB' s'appliquera sur SB ; mais l'arête SC restera toujours en arrière du plan ASB; par suite, dans sa nouvelle position, le trièdre SA'B'C ne coïncidera pas avec SABC.
7? Menons {Jig. 812), la bissectrice xSy de l'angle BSA', et, autour de cette droite, qui est située dans le plan ASB, faisons tourner le trièdre SA'B'C de 180 degrés dans le sens de la
32* GÉOMÉTRIE DA>S l' ESPACE.
flèche o. L'aréle SA' s'appliquera sur SB, Tarèle SB' sur SA, et, par suile, la face A' SB' coïncidera avec BSA ; de plus, Varêle SC
viendra celle fois en avant du plan ASB. Mais la nouvelle position SCi de celle arête différera en général de SC ; car les dièdres suivant SA et SB étant en général inégaux, il en sera de même des dièdres SB et SA', et, par suile, les plans CSB et C, SB, étant inégalement inclinés sur le plan ASB, ne coïncideront pas.
On voit cependant que la coïncidence aurait lieu si le trièdre SABC avait les deax angles dièdres SA et SB égaux entre eux. Car, dans celle hypothèse, les plans C, SB et CSB seraient également inclinés sur le plan ASB; ils tomberaient donc Tun sur Tautre; il en serait de même des plans d SA et CSA, et, par suite, les arêtes SC eiSC, se confondraient. Observons d'ailleurs que la face CSA', qui est égale à ASC, s'applique alors sur CSB, de sorte que l'égalité des deux angles dièdres SA et SB entraîne celle des faces CSB et CSA. Donc, en résumé, pour qu'un trièdre soit superposable à son symétrique^ il faut et il sujfii que ce trièdre ail deux angles dièdres égaux ; et dans un tel trièdre, les faces opposées aux dièdres égaux sont égales,
THÉORÈME
567. Dans tout angle polyèdre, une face quelconque est moindre que la somme de toutes les autres.
Il n'y a lieu à démontrer cette proposition que lorsque la face considérée est plus grande que chacune des autres. Cela posé, considérons d'abord un angle trièdre SABC
