GtoMtnU DAHS l'ispacb

deux dièdres égaux, les faces BSD, CSD, opposées à ces angles seront égales. Or le trièdre SACD donne

ASC<ASD + DSC;

on aura donc, en remplaçant la face DSC par son égale DSB,

ASC < ASD -f- DSB ou ASC < ASB.

En rappochant ce théorème de celui qui a été démontré au dernier alinéa du n"* 566, et en raisonnant comme au n^ 37, on verra que : réciproquement, 5i un angle trièdre a deux faces égales f les dièdres opposés à ces faces sont égaux ^ et si un angle trièdre a deux faces inégales^ à la plus grande face est opposé le plus grand dièdre,

SCOUE.

569. Sif par le sommet S d^un angle trièdre SABC, on mène une droite SOà volonté dans r intérieur de ce trièdre, la somme des angles OSB, OSC, est moindre que la somme des faces ASB, ASC.

Si les deux Jaces d'un an^le trièdre sont respectivement égales à deux faces d'un autre angle trièdre, et si l'angle dièdre compris entre les premières est plus grand que V angle dièdre compris entre les deux autres, a troisième face du premier trièdre est plus grande que la troisième face dti second.

Ces propositions sont les analogues de celles des n"" 31 et 33; elles se démontrent absolument de même. Il est inutile de faire de nouvelles figures; il suffit de regarder les figures 24, ^5, 26 et 27 comme des sections planes des trièdres que l'on considère, les sommets de ces trièdres étant supposés en avant, par exemple, du plan des sections.

THÉORÈME

570. Dans tout angle polyèdre convexe ^ la somme des faces est moindre que quatre angles droits (Jig, 3i5).

En effet, soit ABCDE un polygone convexe obtenu en coupant l'angle polyèdre par un plan qui rencontre toutes les arêtes (5G5). En ajoutant les inégalités

EAB<EâS4-BAS, ABC<ABS + CBS, BCD<BCS + DSC,

LIVBB V. — LE PLAN. 35.

que fournissent les trièdrés A, B, C, . . (567), on voit que la somme des angles intérieurs du polygone ABCDE est moindre que la somme des angles à la base des triangles SAB, SBC, SCD, ..., qui ont S pour sommet. Or, la somme des angles tant intérieurs qu'extérieurs du polygone convexe ABCDE est égale à la somme de tous les angles des triangles dont S est le sommet commun, Donc» la somme des angles en S de ces triangles, c'est-à-dire la somme des faces de l'angle polyèdre, est moindre que la somme des angles extérieurs du polygone, c'est-à-dire moindre que quatre angles droits.

SCOLIE

571. Il résulte des deux théorèmes précédents (567, 570) que, pour qu'on puisse former un angle trièdre avec trois faces données, il faut que la plus grande face soit inférieure à la somme des deux autres, et que la somme des trois faces soit moindre que quatre angles droits. Nous allons prouver que ces deux conditions sont suffisantes.

Soient (fig. 3i6 ) ASB la plus grande face, et ASC, ESC', les deux autres faces rabattues dans le plan de la première, de part et d'autre de celle-ci ; se et SC' sont les deux droites provenant du dédoublement de la troisième arête.

Décrivons du point S comme centre un arc de cercle CC de rayon arbitraire; cet arc sera moindre qu'une circonférence, puisque la somme des trois faces données est inférieure à quatre angles droits. Ce et Ce' étant les cordes menées des points C et C' perpendiculairement aux arêtes SA et SB, les arcs AC et Ac sont égaux entre eux, ainsi que les arcs BC et Bc'; par suite, la relation

arc AB < arc AC H- arc BC,

qui exprime que la plus grande face ASB est inférieure à la somme des deux autres, peut s'écrire

arc AU <, arc A c -h arc uc ;

elle montre que le point c tombe entre B et c', que c' tombe entre r et A

et par conséquent que les deux cordes Cr éiC'c' se croisent en un point G intérieur au cercle CC

Élevons au point 0 la perpendiculaire OM au plan ÂSB, et dans le plan DOM décrivons du point D comme centre, avec un rayon égal à DC, un arc de cercle qui coupera nécessairement la perpendiculaire OM, puisque OD est moindre que DC. M étant le point d'intersection, menons SM : le trièdre SABM sera formé avec les trois faces données. En efifet, si l'on tire MD et ME, ces droites seront respectivement perpendiculaires sur SA et sur SB, en vertu du théorème des trois perpendiculaires; dès lors les deux triangles SDM, SDC, sont égaux comme ayant un angle droit compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; on en conclut d'abord que la face ÂSM est égale à la face donnée ÂSC, et que Tarète SM est égale à se. Les deux triangles rectangles SME, SC'E, ont donc 1 hypoténuse égale et un côté commun, et leur égalité prouve que la face MSB est égale à Tautre face donnée BSC'.

572. Si un angle trièdre SA'B'C est le trièdre supplémentaire d'un angle trièdre donné SABC, réciproquement SABC sera le trièdre supplémentaire de SA'B'C.

Pour bien comprendre la définition du trièdre supplémentaire et l'objet du présent théorème, il convient de faire une remarque. Par un point 0 d'un plan P, menons une perpendiculaire M à ce plan et une oblique ON. Si les deux droites OM et ON sont d'un même côté du plan P, Tangle MON qu'elles forment est aigu {Jîg. 317], car il est compris dans l'un des angles droits MOT ou MOT' que fait la perpendiculaire OM avec la trace TOT' du plan MON sur le plan P. Si les deux droites OM et ON sont situées de part et d* autre du plan P,

Fig. 317. Fig. 3 18.

l'angle MON est obtus {fig. 3i8), car il contient Tun des angles MOT ou MOT'. Donc, réciproquement, suivant que l'angle MON est aigu ou obtus, on peut afOrmer que la perpendi-

LIYBB V. — LB PLAN. 87.

culaire OM et l'oblique ON sont d'un même cdté du plan P ou de part et d'autre de ce plan.

Cela posé, on nomme trièdre supplémentaire d'un trièdre SABC (^g*. 319) un nouveau trièdre SA'B'C formé de la manière suivante :

Par le sommet S, on élève une perpendiculaire SC a la face ASB, du même côté que SC par rapport au plan de cette face; on mène SB' perpendiculaire à la face ASC, du même côté que SB par rapport au plan ASC, et l'on trace enfin SA' perpendiculaire à la face BSC, du même côté que SA par rapport au plan BSC.

U^ s'agit maintenant de démontrer que le trièdre SABC résulte du trièdre SA'B'C, comme celui-ci du premier; ou, en d'autres termes, que l'arête SC, par exemple, est perpendiculaire à la face A'SB' et du même côté que SC par rapport au plan de celte fate. Or, par hypothèse, SA' est perpendiculaire au plan CSB et par suite à SC; de même, SB' est perpendiculaire à SC; donc SC est perpendiculaire au plan A'SB'. De plus, se ayant été mené perpendiculairement au plan ASB et du côté de SC, l'angle CSC est aigu; par suite, la perpendiculaire SC au plan A'SB' et l'oblique SC formant un angle aigu, ces deux droites sont situées d'un même côté par rapport à ce plan A'SB',

THÉORÈME

573. Si SABC et SA'B'C soni deux trièdres supplémentaires, chaque angle dièdre de iun de ces trièdres est le supplément de la face opposée dans Vautre.

La démonstration est fondée sur la remarque suivante :

Lorsque, par un point Opris sur l* are te d'une angle dièdre 01, on élève sur la face 10 A une perpendiculaire OA' du même côté du plan lOA que la face lOB, et sur la face lOB une perpen^ diculaire OB' du même côté du plan lOB que la face lOA, r angle A'OB' est le supplément de V angle plan AOB qui mesure le dièdre (Jig. 821, 'Sia),

Les quatre droites OA, OB, OA', OB', sont dans le plan perpendiculaire à 01 mené par 0; d'ailleurs, OA' perpendiculaire au plan lOA doit être perpendiculaire à OA, et de même OB'

doit être perpendiculaire sur OB; les angles AOB, A'OB', sont donc deux angles situés dans un même plan et ayant leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun; pour prouver qu'ils

Fig. 330.

sont supplémentaires, il suffit de prouver qu'ils sont toujours d'espèce différente, c'est-à-dire l'un aigu, l'autre obtus. Or, cela résulte de la direction que l'énoncé impose aux perpendiculaires OA' et OB'. En effet, si l'angle AOB est aigu {fig. 32i), l'angle A'OB' renferme l'angle droit AOA' et, par suite, est obtus; si l'angle AOB est obius [fig. 822), l'angle A'OB' est contenu dans l'angle droit AOA' et, par suite, est aigu.

Cela posé, revenons aux trièdres supplémentaires SABC, SA'B'C {fig. 320), et considérons, par exemple, le dièdre SC. La droite SB' est une perpendiculaire à la face CSA de ce dièdre du côté de SB, et par suite du côté de l'autre face CSB; de même, SA' est une perpendiculaire à la face CSB du dièdre, du côté de la face CSA; donc, l'angle A'SB' est le supplément de l'angle qui mesure le dièdre SC ou, plus brièvement, le supplément du dièdre SC. On procéderait de même pour les dièdres SA et SB.

Puisque les deux trièdres SABC, SA'B'C, se déduisent l'un de l'autre par la même construction, il est clair que la propriété qui vient d'être établie pour lès dièdres du premier s'étend aux dièdres du second. D'ailleurs la démonstration serait la même.

C'est en raison de cette double propriété que les deux trièdres ont été appelés supplémentaires.

SCOLIE

S74. Désignons par a, b, c-, les nombres qui mesurent les faces, et par A, B, G, les nombres qui mesurent les angles dièdres d'un angle trièdre, l'angle droit étant pris pour unité d'angle. Les nombres a', b\ c', qui me-

UYRE V. — ^^ LE PLAN. 89.

sureronl les faces, et ceux A', B', C',qui mesureront les angles dièdres du trièdre supplémentaire, seront donnés par les formules

fl' = a — A, A' = 2 — a, ft' = 2-B, B'=i-b,

Si donc on connaît une propriété quelconque d'un angle trièdre, c'està-dire une relation entre les éléments a, 6, r, A, B, C, de cette figure, en appliquant cette relation aux éléments a', b\ c', A', B', C, du trièdre supplémentaire, puis en remplaçant ces éléments parleurs valeurs tirées des formules précédentes, on aura une relation nouvelle entre a, 6, r, A, B, C, c'est-à-dire une nouvelle propriété du trièdre primitif.

De même, toute propriété relative à plusieurs trièdres conduira, par la considération des trièdres supplémentaires des proposés, à une propriété nouvelle de ce système de trièdres.

On conçoit par là l'importance du théorème précédent. Voici d'ailleurs quelques applications de la méthode générale que nous veuons d'indiquer.

575. Nous avons vu (570) que la somme des faces d'un trièdre était toujours comprise entre zéro et quatre angles droits. Cherchons le théorème correspondant, ou, comme on dit, le théorème corrélatif. Considérons à cet effet le trièdre supplémentaire du proposé; a\ h\ c\ étant ses faces, on a

Par suite A, B, C, étant les dièdres du trièdre proposé, on a

ou

6>A-hB-f-C>a.

Ainsi, la proposition demandée est la suivante : Dans tout trièdre, la somme des angles dièdres est comprise entre deux droits et six droits.

Nous avons vu encore (567) que dans tout trièdre la plus grande face est moindre que la somme des deux autres. Quel est le théorème corrélatif?

Soient a\ h\ c\ les faces du trièdre supplémentaire du trièdre considéré. a' étant la plus grande, on a

par suite, si A, B, C, sont les dièdres du trièdre proposfe, on aura

a-A<(a-B)-H(2-C), ou A4-2>B-hC.

D'ailleurs, le supplément d'un angle diminuant quand cet angle augmente,

4o. GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE.

A doit être le plus petit des dièdres A, B, C, puisque a' est la plus grande des faces a\ b\ c\ Donc enfin la proposition demandée est la suivante : Dans tout trièdrcy le plus petit angle dièdre y augmenté de deux droits^ est plus gmnd que la somme des deux autres.

576. En résumé, pour qu'on puisse former un angle tn'èdre avec trois dièdres donnés A, B, G, il faut que leur somme soit con^prise entre deux droits et six droits, et que le plus petit augmenté de deux droits soit supérieur à la somme des deux autres.

Ces conditions sont suffisantes; car, quand elles sont remplies, les suppléments a\ b\ c\ des angles donnés A, B, G satisfont aux deux conditions du n** 57i. On peut donc, avec les trois faces a', b\ c\ construire un trièdre; par suite, en construisant le trièdre supplémentaire de celui-là, on aura un trièdre dont les dièdres seront les angles donnés

THÉORÈME

5T7. Deux angles trièdres sont égaux :

1" Lorsqu'ils ont une face égale adjacente à deux angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés;

2" Lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées;

y* Lorsqu'ils ont leurs faces égales chacune à chacune et semblablement disposées;

4** Lorsqu'ils ont leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

!• Soient les deux irièdres SABC el S'A'B'C' {Jig, 323). Par hypothèse, la face ASB est égale à la face A'S'B\ les angles

Fig. 3i3.

dièdres SA et S'A' sont égaux entre eux, ainsi que les dièdres SB et S'B'. On suppose en outre que la disposition est la même, c'est-à-dire que si un observateur dont la tête est en S, le dos appuyé sur la face ASB et le regard dirigé vers SC, a Tarète SA à sa gauche et Tarête SB à sa droite, un autre observa-

LITRE Y. — liB PLAN. 4>'

leur, dont la lêle serait en S', le dos appuyé sur la face A'S'B' et le regard dirigé vers S'C, aurait l'arête S'A' à sa gauche et Tarête S'B' à sa droite.

Dans ces conditions, les deux trièdres sont égaux, c'est-àdire superposables. En effet, si Ton place la face A'S'B' sur son égale ASB, de façon que S'A' coïncide avec SA et S'B' avec SB, Tarète S'C tombe, par rapport au plan ASB, du même côté que se, sans quoi la disposition des éléments serait différente dans les deux trièdres. Alors, les dièdres SA et S'A' étant égaux, le plan A' S'C s'applique sur le plan ASC; de même, les dièdres SB et S'B' étant égaux, le plan B'S'C s'applique sur le plan BSC; donc enfin les arêtes S'C' et SC se confondent et les deux trièdres coïncident.

2® Le second cas résulte du précédent, dont il est le corrélatif (575). En effet, les deux trièdres supplémentaires des proposés ont une face égale adjacente à deux dièdres respecli* vement égaux et semblablement disposés; ils sont donc superposables, et par suite il en est de même des trièdres primitifs.

D'ailleurs, la démonstration directe n'offre aucune difficulté ; on voit, par un raisonnement analogue au précédent (i*"), que la superposition est possible, si, conformément à l'hypoihèse, la disposition des éléments est la même.

3® Pour le troisième cas, on pourrait suivre une marche identique à celle de la Géométrie plane, c'est-à-dire démontrer ce théorème comme celui du n*» 34 (3^), en passant par les propositions qui sont les analogues de celle des n^* 33 et 34 {i%

Voici une démonstration directe :

Soient SABC et S'A'B'C les deux trièdres; il suffit évidemment de démontrer l'égalité de deux dièdres homologues, des dièdres SA et S'A', par exemple.

Supposons d'abord que les deux faces ASB, ASC, qui comprennent le dièdre SA, soient deux angles aigus. En un point quelconque 0 de l'arête SA, formons (Jig. 3^4) l'angle plan correspondant à l'angle dièdre SA; en d'autres termes, élevons par le point 0 des perpendiculaires sur SA dans les plans ASB et ASC; les angles ASB et ASC étant aigus, ces perpendiculaires rencontrent les arêtes SB et SC en deux points M et N que nous joindrons par une ligne droite. Prenons S'0'=SO et construisons de même en 0' l'angle plan M'O'N' du dièdre S'A'. Il s'agit

4^. GÊOHÊTllIB DAKS L*BSPACB.

de démontrer l'égalité des deux angles plans MON et M'O'N'. Or les deux triangles rectangles SOM, S'O'M', sont égaux comme

Fig. 3q4.

ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux : il en est de même des triangles SON et S'O'N'; par suite, les deux triangles SMN, S'M'N' ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, et enfîn les deux triangles OMN, O'M'N' ont les trois côtés égaux chacun à chacun. L'égalité de ces derniers triangles entratne celle des deux angles MON, M'O'N'.

Supposons en second lieu que les deux angles ASB et ASC, qui comprennent le dièdre SA, soient quelconques, et prenons six longueurs égales SA = SB = SC = S'A'=S'B'=S'C', à partir des sommets sur les arêtes des deux trièdres {fig. 325).

Les triangles isocèles ASB et A'S'B', BSC et B'S'C, CSA et C'S'A^ sont égaux deux à deux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux; par suite, les triangles ABC, A'B'C, sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun. D'après cela, les deux trièdres A et A' ont leurs faces respectivement égales; d'ailleurs les angles SAB, SAC, qui comprennent le dièdre AS, sont aigus comme angles à la base de triangles isocèles ; donc, en vertu du raisonnement fait dans l'alinéa précédent, le dièdre AS est égal au dièdre A'S'.

4" Le dernier cas résulte du précédent dont il est le corrélatif. En erret, les deux trièdres supplémentaires des proposés

LITRE y. LE PLAN. ^3.

oni leurs faces respectivement égales et semblablement disposées; ils sont donc superposabies, et par suite il en est de même des trièdres primitifs.

Sgolib.

578. Si» dans chacun des quatre cas examinés, la disposition fles éléments égaux était différente dans les deux trièdres, il n'y aurait plus égalité ^ mais seulement symétrie. En effet ^ soient T et T' les deux trièdres proposés, et T, le symétrique de T, c'est-à-dire celui qu'on déduit de T en prolongeant ses arêtes au delà du sommet {Jig. 39.3). Les trièdres T et Ti ont leurs éléments égaux et inversement disposés; par suile, comme T etT' remplissent par hypothèse toutes les conditions de l'un des cas d'égalité sauf celle relative à la disposition des parties égales, les trièdres T' et T, satisferont à toutes les conditions de ce cas d'égalité ; ils seront donc superposables; d'où l'on voit que T' est superposable au symétrique de T.

579. Nous avons suffisamment signalé dans le courant de ce paragraphe l'analogie entre certaines propriétés des trièdres et des triangles rectilignes. Il importe toutefois d'observer en terminant que si, à toute propriété des triangles répond une propriété des trièdres, la réciproque n'est pas vraie; par exemple, tandis que l'égalité des angles dièdres de deux trièdres entraîne l'égalité de leurs faces, l'égalité des angles de deux triangles n'entratne que la proportionnalité des côtés.