X. - APPENDICE

Quadrilatère gauche.

580. On dit qu'an quadrilatère ABCD (Jig. 326) est gauche lorsque ses quatre côtés ne sont pas dans un môme plan. Pour obtenir une pareille figure, il suffît d'assembler deux triangles ABC, ADC, ayant un côté commun AC, de façon que leurs plans ne coïncident pas.

THÉORÈME

581 . Quand un plan P rencontre les r/uatre côtés d'un (juadrilntère gauche ABCD en quatre i^oints «, ^, c, d (fig* Saô), on a la relation segmentaire

flrA ^ rC rfD ^' «B'6C'cD'i^A""^'*

44* GÉOHÉTHIB DANS L'bSPAGB.

En effet, en appliquant le théorème de Ménélaiis (390) aux deux triangles ABC et ÂDC coupés respectivement par les deux transversales ab et cdf et remarquant que les deux droites ab et cd se rencontrent au point t où la diagonale ÂC perce le plan P, on a les égalités

ak bB cC

rC fi\y «A

aB' bC' tX "■'' cD'r/A*iC "" ^'

dont le produit est précisément la relation (i)

Fig. 336.

FIg. 327.

582. RÉCIPROQUEMENT, st sur les quatre côtés d'un quadrilatère gaurfte ABCD on prend quatre points a, b c, r/, tels qui! on ait la relation (1), c« quatre points sont dans un même plan [fig, 827 ).

Car le plan P, déterminé par les trois points A, r, d^ reivcontre le côté AB en un pointa', tel qu'on ait (581)

^ bB c^ il^ «'B'^C* cD*r/A

La comparaison de celte relation avec la relation (i), qui a lieu par hypothèse, donne

ak a'k^ 'aB" 7b'

et cette proportion entraîne (306) la coïncidence des points a' et a.

CoROLLAiaBS.