LIVRE Y. — LE PLAN

deux rapports Xn ®^ ^ se réduisent à l'unité, et la relation (i) devient

ak rC

ak rD

ou

flB*cD '

âB ~ cC

Donc : Tout plan P, parallèle à deux côtés opposés BC et AD d'un quiulrilatère gauc/ie ÂBCD, divise proi}ortionnell€ment les deux autres côtés,

La démonstration directe de ce théorème est d'ailleurs très-simple : si par chacune des droites BG et AD on imagine un plan parallèle au plan P, on a deux droites AB et CD coupées par trois plans parallèles ; donc (511), etc.

Réciproquement : Toute droite ac^ qui ditûse proportionnellement deux côtés opposés kB et CD d'un quadrilatère gauehe ABCD, est située tlans un plan parallèle aux deux autres côtés AD et BC. Car si on imagine le plan mené parc parallèlement aux droites AD etBC, ce plan doit, en vertu du théorème direct, diviser le côté AB en parties proportionnelles à cC el cD; ce plan contient donc le point a et, par suite, la droite ac.

Rapport anliarmonique de quatre plans,

585. Il est aisé de voir que, lorsque quatre plans A, B, C, D passent par une même droite, le rapport anharmonique du faisceau de quatre droites déterminé par un plan transversal quelconque est indépendant de la position de ce plan transversal. Car les quatre droites «, A, r, d, déterminées par un premier plan P, et les quatre droites a\ b', c', d\ déterminées par un second plan P', se coupent deux à deux en quatre points ^) P) 7i ^1 situés sur Tintersectiou des deux plans P et P', et le rapport anharmonique des points a, ^, 7, ^, est égal (313) à celui des droites «, ^, c, d^ aussi bien qu'à celui des droites a\ b\ c\ d.

D'après cela, on donne le nom de rapport anharmonique d'un faisceau de quatre plans passant par une même droite, à tout rapport anharmonique du faisceau de quatre droites déterminé par un plan transversal quelconque.

586. Lorsque quatre plans passent par une même droite , toute transversale les rencontre en quatre }x>ints fiant le rapport anharmonique est égal à celui des quatre plans. Car ces deux rapports ne sont autres que celui du faisceau de quatre droites déterminé par un plan quelconque contenant la transversale (313, 385).

587. Un faisceau de quatre plans A, B, C, D, passant par une même droite, est dit /i<7r/7?o;7/^tfc lorsque le rapport anharmonique (A, B, C, D) de ces quatre plans est égal à — i. Alors tout plan transversal 6u toute

sécante détermine un système harmonique de quatre droites ou de quatre points.

588. Le théorème du n"* 529, relatif à la projection d'une droite sur un plan, subsiste lorsque les projetantes des divers points de la droite sont obliques au plan, pourvu qu'elles soient parallèles entre elles ou qu'elles divergent d'un même point de l'espace ; car les projetantes sont encore, dans l'un ou l'autre cas, situées toutes dans le plan de l'une d'elles et de la droite que l'on projette.

On est ainsi conduit à étendre le sens du moi projection.

La projection m d'un point M sur un plan P est dite orthogonale, oblique ou centrale, suivant que la projetante Mm est perpendiculaire au plan P, ou qu'elle est parallèle à une direction Gxe oblique à ce plan, ou enfin qu'elle est issue du point fixe S de l'espace.

La projection orthogonale, oblique ou centrale d'une figure est le lieu des projections orthogonales, obliques ou centrales de ses divers points, en supposant, bien entendu, dans les deux derniers cas, que la direction oblique des projetantes, ou que le centre S de projection, ne change pas quand on passe d'un point à un autre de la figure que Ton projette.

La perspective d'une figure sur un tableau P n'est autre chose que la projection centrale de cette figure sur le plan P, la position de l'œil étant prise pour centre S de projection.

Uombre portée sur un plan P par une figure éclairée par un point lumineux S n'est autre chose que la projection centrale de cette figure faite du centre S sur le plan P.

D'après cela, le théorème du n** 586 peut encore être énoncé de la manière suivante :

Lorsque quatre droites concourantes sont situées dans u/i même plan, si Von construit leur projection, leur ombre ou leur perspective sur un plan quelconque^ on obtient quatre droites concourantes dont le rapport anharmonique est égal à celui des quatre premières»

OUESTIOBTS PROPOSEES.

§§ I, II, m. — Premières notions sur le plan. — Droites parallèles et angle de tleux droites. — Droite et plan parallèles.

538. Mener par un point donné une droite qui rencontre deux droites données non situées dans un même plan.

539. Démontrer que deux droites qui rencontrent trois droites placées d'une manière quelconque dans l'espace, ne sont pas en général situées dans un même plan.