LIVRE VJ. — LES POLYÈDRES

2" Soient [Jig. 338) les trois parallélipipèdes rectangles AN, A' G', E^'N', dont les bases ABCD, A'B'C'D', E"F^G''H^ sont égales, et dont les hauteurs AL, A'Ë', Ë"L', satisfont à la condition

ALrr.A'E'-hE'^L';

le" parallélipipède recungle AN est égal à la somme des deux autres. Car, si Ton prend sur AL une longueur AE égale à A'E', et qu'on mène par le point E une section EFGH parallèle à la base ABCD, EL sera égale à E" L', en vertu de l'hypothèse énoncée. Par suite, des deux parallélipipèdes rectangles AG, EN, qui composent le parallélipipède rectangle AN, le premier sera égal au parallélipipède rectangle A' G', et le second au parallélipipède rectangle E'^N' (i**).

Corollaires.

618. Le rapport de deux parallélipipèdes rectangles de même base est égal au rapport de leurs hauteurs; en d'autres termes, le volume d*un parallélipipède rectangle de base constante est proportionnel à sa hauteur.

Car le théorème précédent prouve qu'un parallélipipède rectangle de base constante et sa hauteur satisfont aux conditions nécessaires et suffisantes (135) pour qu'il y ait propos tionnalité entre ces grandeurs.

Dire que deux parallélipipèdes rectangles, ont même base, c'est dire qu'ils ont deux dimensions communes (596). La conclusion précédente peut donc être énoncée de cette manière :

Deux parallélipipèdes rectangles qui ont deux dimensions communes^ sont*entre eux comme leurs troisièmes dimensions.

Il résulte de là et du théorème général du n* 404- que deux parallélipipèdes rectangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs trois dimensions.

619. L'une des dimensions d'un parallélipipède reetangle étant prise pour sa hauteur, le produit des deux autres dimensions mesure sa base (409). Donc, deux parallélipipèdes rectangles quelconques sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur.