LIVR£ VI. — LES POLYÈDRES

d'autres termes, le volume d'un parallélipipède rectangle est égal au produit de ses trois dimensions.

Ce second énoncé n'est applicable qu'au parallélipipède rectangle; nous allons prouver, en terminant ce paragraphe, que le premier (620), où entrent explicitement la base et la hauteur du parallélipipède , est applicable à tous les prismes.

622. Le volume d'un cube est égal à la troisième puissance de son arête. De là, le nom de ci^fre donné à la troisième puissance d'un nombre.

623. Le volume d'un parallélipipède rectangle est encore égal au produit de sa base par sa hauteur, lorsqu'on prend pour unité de volume le parallélipipède rectangle ayant pour base l'unité d'aire quelle qu'elle soit et pour hauteur la longueur prise pour unité de hauteur.

THÉORÈME

624. Le volume d'un parallélipipède quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

Soit {Jig> 339) le parallélipipède quelconque AG ayant pour base ABCD ou EFGH et, pour hauteur, la perpendiculaire EP abaissée du sommet E sur le plan ABCD. Menons par le point E, dans le plan EFGH, la perpendiculaire EM à HG. Si

Fig. 339.

Ton prend la face AEHD pour base du parallélipipède proposé ( 598), son arête latérale sera EF, et sa Section droite ( 607 ) sera le parallélogramme EMQR déterminé par le plan MEP. Le parallélipipède AG sera donc équivalent au parallélipipède droit RK ayant pour base la section droite EMQR et pour hauteur l'arête EF (615).

Ceci posé, reproduisons à part, pour plus de clarté {Jig. 339), ce paralléiipipède droit RK, et construisons un parallélipipède rectangle PK ayant pour dimensions EF, EM, EP. Le parallélipipède droit RK et le parallélipipède rectangle PK ainsi déterminé, présentent seulement comme parties non communes les deux prjsmes droits qui ont pour hauteur EF et pour bases les deux triangles égaux EPR, MVQ. Ces deux prismes droits étant égaux (613), les deux parallélipipèdes seront équivalents et, par suite, il en s<^ra de m.ême du parallélipipède quelconque AG et du parallélipipède rectangle PK. Donc, le produit EF.EM.EP, qui exprime la mesure (621) du parallélipipède rectangle PK, mesure aussi le volume du parallélipipède quelconque AG. Or, EF.EM mesure la base EFGH de ce parallélipipède, et EP est sa hauteur.

Donc enfin, le volume du parallélipipède quelconque AG est égal au produit de sa base par sa hauteur.

THÉORÈME

625. Le volume d'un prisme quelconque a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

!*• Soit {Jig. 340) le prisme triangulaire ABCEFG. Par l'extrémité A de Tarète AB, menons le plan ADHE parallèle à la face BCGF, et par l'extrémité C de Taréte BC le plan CDUG parallèle à la face ABFE; prolongeons en même temps les deux bases du prisme jusqu'à la rencontre de ces plans. On obtiendra ainsi (600) le parallélipipède AG construit sur les trois droites AB, BC, BF. La face ACGE du prisme triangulaire considéré étant un plan diagonal du parallélipipède AG, ce prisme en sera la moitié (616). Donc, le volume du parallélipipède AG ayant pour mesure le produit de sa base ABCD par sa hauteur EP (62&), le volume du prisme triangulaire ABCEFG aura pour mesure la moitié de ce produit, c'est-à-dire

LITRB YI. — LES POLTÈDRBS. 69.

le produit de sa base ABC, moitié du parallélogramme ABCD, par sa hauteur EP.

2» Soit {Jig. 341 ) un prisme quelconque ABCDEFGHIK. On

\ le décompose en prismes triangulaires en faisant passer des plans diagonaux par l'arête AF et chacune des arêtes CH, DI. Ces prismes triangulaires ont pour bases les triangles ABC, ACI), ADE, qui composent la base du prisme donné». et leur hauteur commune est celle H du prisme. La somme de leurs mesures (i")

ABC. H -h ACD.H + ADE.H

ou la mesure du prisme AI, sera donc égale au produit de sa base ABCDE par sa hauteur H.

Corollaires.

626. En désignant par V, B, H, les trois nombres qui mesurent respectivement le volume d'un prisme, sa base et sa hauteur, on a la formule générale

Donc, deux prismes de bases équivalentes et de même hauteur sont équivalents ; deux prismes sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur; deux prismes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs; deux prismes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases,

627. Application. Un bassin a la forme d'un prisme hexagonal régulier de o^^^^S de hauteur, le côté de la base hexagonale est égal à i mètre; calculer la capacité du bassin.

L'aire de la base du prisme considéré étant, six fois l'aire du triangle équilatéral de i mètre de côté, est égale à

— 7— (4-17) ou à ^' En appliquant la formule V = B.H,

on aura donc pour ]e volume cherché

à un décimètre cube près.