IV. - VOLUME DE LA PYRAMIDE

THÉORÈME

642. Deux pyramides triangulaires de bases équit^alentes et de hauteurs égales sont équivalentes.

Fîg. 347.

Soient {Jig, 347) SABC ei S'A'B'C les deux pyramides proposées. Si leurs bases ABC, A'B'C, sont placées sur un même plan; leurs sommets S et S' seront à la même distance du plan commun des deux bases, puisque ces pyramides ont même hauteur.

Divisons Tarête SA en un certain nombre de parties égales aux points D, G, K, et par ces points menons des plans parallèles au plan commun des bases. Nous déterminerons ainsi dans la première pyramide les sections DEF, GHÏ, KLM, et dans la seconde pyramide les sections correspondantes D'E'F', G' HT, KLM'.

Comme les bases des deux pyramides sont équivalentes, les sections faites dans ces pyramides par un même plan parallèle au plan commun des bases, sont équivalentes (639). La section DEF est équivalente à la section D'E'F', la section GHI à la section G' HT, etc.

Construisons maintenant un prisme sur la section DEF comme base et sur la division DA comme arête. Il suffit pour cela (591 ) de mener, par les points E et F, jusqu'à la rencontre des arêtes AB et AC, des parallèles EN et FO à DA ou SA, et de tracer la droite NO. En agissant de même pour les autres

LIVRB ▼!. — LB8 POLTfeDRBS. 77.

sections GHI, KLM, et les autres divisions GD, KG, on inscrira dans la pyramide SABC un nombre de prismes égal à celui des sections primitivement obtenues, et tous ces prismes inscrits auront pour hauteur la distance constante de deux plans sécants consécutifs.

En opérant d'une manière identique , on inscrit dans la seconde pyramide S'A'B'C les prismes D'E'F' A'N'O', G'HTD'P'Q',.. ., qui sont en même nombre que ceux incrits dans la pyramide SABC.

Les prismes de même rang dans les deux pyramides sont équivalents comme ayant des bases équivalentes et des hauteurs égales (626). Le prisme GHIDPQ, par exemple, est équivalent au prisme G'H'l'D'P'Q', parce que les deux sections correspondantes GHI, G' HT, sont équivalentes, et parce que les hauteurs de ces prismes représentent toutes deux la n'*"" partie de la hauteur commune des pyramides données, si Ton a divisé Tarête SA en n parties égales.

Donc, la somme des prismes inscrits dans la pyramide SABC est équivalente à La somme des prismes inscrits dans la pyramide S'A'B'C. Or, si Ton fait croître indéfiniment le nombre des divisions égales de Tarête SA, la somme des prismes inscrits dans la pyramide SABC a pour limite le volume de cette pyramide. En effet, les points K, R, F, N sont en ligne droite, puisque les droites SK, LR, HP, EN, sont égales et parallèles, et la droite KN est parallèle à SB. De même, les points K, T, Q, 0, sont sur une droite KO parallèle à se. Le plan KNO est donc parallèle à la face SBC, et le polyèdre KNOSBC est un tronc de pyramide à bases parallèles dont la hauteur, distance des deux plans K!NO, SBC, est au plus égale à SK = AD. Or la limite de AD, quand on fait croître indéfiniment le nombre des divisions égales de Tarête SA, est zéro. Donc la hauteur du tronc de pyramide KNOSBC tend vers zéro, et il en est de même par conséquent du volume de ce tronc. Mais ce volume est évidemment supérieur à la différence qui existe entre la pyramide SABC et la somme des prismes qui y sont inscrits. Cette différence s'annule donc à la limite.

On prouverait de même que la différence entre la pyramide S'A'B'C et la somme des prismes qui y sont inscrits a zéro pour limite.

7^* GÊOMÉTBIB DANS l'bSPACB.

Les deux sommes de prismes éiani constamment équivalentes, leurs limites, c'est-à-dire les volumes des deux pyramides SABC, S'A'B'C, sont égaux.

THÉORÈME

6fc3. Le volume d'une pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

Fig. 348.

Fiç. 349.

1** Soit {Jig. 348) la pyramide triangulaire EABC. Par les sommets A et C, menons les droites AD et CF, parallèles à Tarête BE, jusqu'à leur rencontre J) et F avec un plan mené par le sommet E parallèlement à la base ABC de la pyramide. Le polyèdre ABCDEF sera un prisme triangulaire ayant même base et même hauteur que la pyramide proposée.

En faisant passer un plan par les trois sommets Et, E, C, on décompose le prisme triangulaire ABCDEF en trois pyramides triangulaires EABC, EDCA, EDCF. La première est la pyramide donnée. Les deux autres sont équivalentes (642), car elles ont même hauteur et leurs bases sont équivalentes comme moitiés du parallélogramme ACFD. Or, si Ton prend la face DEF pour base do la pyramide EDCF, son sommet est le point C. Cette pyramide a donc même base et même hauteur que le prisme ABCDEF ; elle est donc équivalente à la pyramide ËABC.

Les trois pyramides dont se compose le prisme ABCDEF étant équivalentes, chacune d'elles est le tiers de ce prisme. Or, le volume du prisme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur; le volume de la pyramide EABC a donc pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

2» Soit {Jig. 349) la pyramide polygonale SABCDE. On la décompose en pyramides triangulaires en faisant passer des plans par Tarêle SA, et chacune des arêtes SC, SD. Ces pyra-

LIVEB YI. — LBS POLYÈDRES. 79.

mides triangulaires ont pour bases les triangles ABC, ACD, ADE, qui composent la base de la pyramide donf)ée, et leur hauteur commune est celle de cette pyramide. La somme de leurs mesures ou la mesure de là pyramide SABCDË sera donc égale au tiers du produit de sa base ABCDË par sa hauteur SO.

Corollaires.

64&. En désignant par Y, B, H, les trois nombres qui mesurent respectivement le volume d'une pyramide, sa base et sa hauteur, on a la formule générale

V=iB.H.

Donc, toute pyramide est le tiers du prisme de même base et de même hauteur. Deux pyramides quelconques de bases équivalentes et de même hauteur sont équivalentes. Deux pyramides sont entre elles comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur. Deux pyramides de même base sont entre elles comme leurs hauteurs. Deux pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases.

645. Quand un tétraèdre est régulier, son volume s'exprime en fonction de son arête a.

Un tétraèdre régulier est compris sous quatre triangles équilatéraux égaux. Sa base a donc pour expression (417)

Sa hauteur est le côté de l'angle droit d'un triangle rectangle ayant pour second côté de l'angle droit le rayon du cercle cîr-

a conscrit au triangle de base, c'est-à-dire "y=» et pour hypoténuse l'arête a du tétraèdre. Cette hauteur est, par suite,

On a donc, pour le volume du tétraèdre régulier en fonction de son arête,

I a*\/3 asji a^ yj^

8o. GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACB.