EXEMPLE

Quel est te volume du tétraèdre régulier dont V arête est I mètre?

On a

à j ceniimèlre cube près.

SCOLIE

646. Pour évaluer le volume d'un polyèdre, il suffit de décomposer ce polvèdre en pyramides, de calculer les volumes de ces pyramides et de faire la somme des nombres oblenus. Plus généralemenl, il suffit de décomposer le polyèdre proposé en parties telles, que l'expression de leur volume soit connue.

Pour opérer la décomposition en pyramides, on peut choisir un point quelconque dans l'espace et le joindre à tous les sommets du polyèdre. Les bases des différentes pyramides formées sont les faces du polyèdre, et leurs hauteurs sont les perpendiculaires abaissées du point choisi sur ces faces. Le volume du polyèdre est la somme arithmétique ou algébrique des volumes des pyramides obtenues, suivant que leur sommet commun est lui-même intérieur ou extérieur au polyèdre.

Souvent, on fait la décomposition en prenant pour centre Tun des sommets du polyèdre, c'est-à-dire en menant toutes les diagonales qui partent d'un même sommet.

Si l'on peut trouver dans l'iniérieur du polyèdre un point à égale distance de toutes ses faces, les pyramides qui le composeront auront pour hauteur commune la perpendiculaire abaissée de ce. point sur l'une des faces, et le volume du polyèdre aura pour mesure le tiers du produit de son aire par cette perpendiculaire.

THÉORÈME

647. L'n tronc de pyramide à bases parallèles est équivalent à la somme de trois pyramides ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc, et pour bases respectives les deux

UVBB VI. — LES POLYÈDIIBS. 8l .

bases du tronc et la moyenne proportionnelle entre ces deux bases.

I" Soil ijlg. 35o) le tronc de pyramide triangulaire à bases parallèles ABCDEF.

Fig. 35o.

Les plans A£C, DEC; le partagent en trois pyramides triangulaires EABC, EDCF, EDCA.

La première EABC a pour b^se la base inférieure ABC du tronc de pyramide, et elle a même hauteur que ce tronc, puisque son sommet £ est un sommet de la base supérieure.

Si Ton prend le point C pour sommet, la seconde pyramide EDCF a pour base DEF, la base supérieure du tronc, ei elle a même hauteur que ce tronc, puisque son sommet C se confond avec un sommet de la base inférieure.

Pour évaluer la troisième pyramide EDCA, comparons-la à la seconde EDCF.

Les deux pyramides EDCA, EDCF, ayant même hauteur, sont entre elles comme leurs bases CDA, CDF, c'est-à-dire, puisque ces deux' triangles ont même hauteur, comme les bases AC et DF de ces triangles. D'ailleurs, les bases du tronc étant semblables (635), on a

Tel est le rapport cherché.

Mais la pyramide EDCF a pour mesure le tiers du produit de la hauteur du tronc par sa base DEF. La pyramide EDCA aura donc pour mesure le tiers du produit de la hauteur du tronc par l'expression

DEF . ^(à^ = v'aBC.DEF.