Lorsque deux droites parallèles AB, CD, sont rencon
trées par une sécante EF, les quatre angles aigus formés au^
tour des points d'intersection G e/ H sont égaux entre eux,
ainsi que les quatre angles obtus formés autour des mêmes
points (fig, 4o).
FIg. /îo.
En effet, par le point 0, milieu de GH, menons sur les parallèles AB et CD la perpendiculaire commune IK; 01 tombera dans l'angle aigu OGA et OK dans Tangle aigu OHD (&>3). Or, les triangles rectangles OGI, OHK, ont leurs hypoténuses OG et OH égales, puisque le point 0 est le milieu de GH, et les angles aigus lOG, HOK, égaux comme opposés par le sommet: ils sont donc égaux (50) et, par suite, l'angle OGI est égal à l'angle OHK. Chacun de ces deux angles étant d'ailleurs égal à son opposé par son sommet, on voit que les quatre angles aigus OGI, EGB, OHK, CHF, sont égaux entre eux.
De même, les quatre angles obtus AGE, 0GB, DHF, OHC, sont aussi égaux entre eux, comme suppléments des angles aigus.
64. Réciproquement, deux droites AB et CD étant coupées par une sécante EF, si les quatre angles aigus ou les quatre angles obtus formés autour des points d'intersection G e/ H sont égaux entre eux, les deux droites AB et CD sont parallèles.
Supposons (flg, 4i) que l'angle HGA soit égal à l'angle GHD, et concevons par le point H la parallèle à AB. Celte parallèle doit, d'après la proposition directe, faire avec GH un angle égal à l'angle HGA, et, par suite, à l'angle GHD; donc celte parallèle coïncide avec HD, et la droite CD est parallèle à AB.
COEOLLAIEES.
65. Deux parallèles AB et CD {Jig. 40 étant coupées par une sécante EF, il résulte de ce qui précède :
Fig. 4i.
I* Que les angles alternes-internes i et 5, ou 4 ^t 8, sont égaux entre eux;
2** Que les angles alternes-externes 3 et 7, ou ^ et 6, sont égaux entre eux;
3» Que les angles correspondants i et 7, ou a et 8, ou 3 et 5, ou 4 cl 6, sont égaux entre eux;
4* Que les angles intérieurs d'un même côté 1 ei 8, ou 4' ei 5, sont supplémentaires ;
5*» Que les angles extérieurs d'un même côté 2 et 7, ou 3 et 6, sont supplémentaires.
Et, RÉCIPROQUEMENT, dcux droitcs coupées par une sécante sont parallèles :
Si les angles alternes-internes sont égaux.
Ou si les angles alternes-externes sont égaux.
Ou si les angles correspondants sont égaux.
Ou si les angles intérieurs d'un même côté sont supplémentaires.
Ou 51 les angles extérieurs d*un même eôté sont supplémentaires.
SCOLIE
66. La proposition directe et la proposition réciproque étant démontrées, les propositions contraires sont vraies par cela même (19). Ainsi:
Deux droites étant coupées par une sécante, si les angles formés ne satisfont pas aux relations que nous venons d'énoncer, les deux droites ne sont pas parallèles. En particulier:
Lorsque deux droites font avec une tranversale deux angles
Sa GÉOMÉTRIE PLANE.
intérieurs d'un même côté dont la somme diffère de deux angles droits^ ces droites se rencontrent du côté de la sécante où cette somme est inférieure à deux angles droits,
67. Voici deux autres remarques souvent utiles : I® Deux droites [fig, 42), l'une AB perpendiculaire, et Vautre CD oblique sur une troisième droite AC, doivent se rencontrer; car la somme des deux angles intérieurs BAC, DCA, est moindre que deux angles droits.
Fig. 43. Fig. 43.
-y — jA- / c ^..
a* Deux droites EF, GH (/g^. 43), respectivement perpendiculaires à deux droites CA et CB qui se coupent, doivent se rencontrer; car en menant la droite EG, on voit que chacun des angles intérieurs FEG, HGE, est moindre qu'un angle droit : la somme de ces angles est donc inférieure à deux angles droits.
THÉORÈME
68. Deux parallèles AC, BD, comprises entre deux autres parallèles AB, CD, sont égales (fig, 44 ).
F>g- 44- Fig. 45.
-- -^ JL^ . A B
En effet, menons AD. Les deux triangles ABD, ACD, seront égaux comme ayant un côté commun AD adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, savoir : Tangle BAD égal à Tangle ADC comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB, CD, coupées par la sécante AD; et l'angle ADB égal à Tangle DAC comme alternes-internes par rapport aux parallèles AC, BD, coupées par la même sécante. Donc le côté BD opposé à l'angle BAD est égal au côté AC opposé à l'angle ADC.
COROLLURE.
69. Si les deux lignes AC et BD {Jig, 45) élaienl perpendiculaires sur AB et, par suite, sur CD (62 ), elles mesureraient les distances des points A et B de la droite AB à la droite CD. Ces deux distances étant égales comme parallèles comprises entre parallèles, et les deux points A et B étant pris d'une manière quelconque sur AB, on voit que deux parallèles sont partout également distantes.
THÉORÈME
70. Deux angles qui ont leurs côtés parallèles chacun à chacun sont égaux ou supplémentaires [Jig*^^)»
Fie. ffi'
/'ti . /F F
I" Supposons que les côtés parallèles soient deux à deux dirigés dans le même sens. Soient, par exemple, les angles ABC, I)EF; BA et ED sont parallèles et dirigés l'un et l'autre de bas en haut; BC et EF sont parallèles.et dirigés l'un et l'autre de gauche à droite : les deux angles considères sont égaux.
En effet,* prolongeons le côté DE jusqu'au point H, où il coupe le côté BC. Les angles ABC, DHC, sont égaux comme correspondants par rapport aux parallèles BA, HD, coupées parBC; de même, les angles DEF, DUC, sont égaux comme correspondants par rapport aux parallèles EF, HC, coupées parDH. Donc, l'angle ABC est égal à l'angle DEF.
•i* Supposons que les côtés parallèles soient dirigés doux à deux en sens contraires. Soient, par exemple, les angles ABC, GEH; BA et EH sont parallèles et dirigés, le premier de has en haut, le deuxième de haut en bas; BC et EG sont pamlièlcs ei dirigés, l'un de gauche à droite, l'autre de droite à gauche : les deux angles considérés sont égaux.
En effet, en prolongeant les côtés de l'angle GEII au delà du sommet E, on forme un angle DEF égal d'une pari à (iEJI
34 GÉOMÉTRIB PLANE.
comme opposé par le sommet, et d'autre part égal à ABC comme ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ce dernier angle et dirigés dans le même sens.
3*» Supposons enfin que deux côtés soient parallèles et de même sens, et les deux autres parallèles et de sens contraires. Soient, par exemple, les angles ABC, DEG; BA et ED sont parallèles et dirigés Fun et l'autre de bas en haut; BC etEG sont . parallèles etdirigés,lepremier,degaucheàdroite,ledeuxième, de droite à gauche : les deux angles considérés sont supplémentaires.
En effet, en prolongeant GE au delà du sommet E, on forme un angle DEF qui est, d'une part, le supplément de DEG> et qui est, d'autre part, égal à ABC comme ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ce dernier angle et dirigés dans le même sens.
En résumé, deux angles qui ont leurs côtés parallèles sont égaux si les côtés parallèles sont dirigés deux à deux dans le même sens, ou encore si les côtés parallèles sont dirigés deux à deux en sens contraires; ils sont supplémentaires, si deux côtés parallèles sont de même sens et les deux autres de sens contraires.
Corollaire.
71. Deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux ou supplémentaires (Jig* 4? ^l 48).
Fig. 47- Fîe- *48.
IF
1* Considérons deux angles aigus ABC, DEF {fig. 47); l^ côté DE est perpendiculaire sur BA, et le côtéEF est perpendiculaire sur BC : les deux angles considérés sont égaux.
En effet, si Ton fait tourner l'angle DEF tout d'une pièce d'un angle droit autour de son sommet E, le nouvel angle
lyEF', reproduction de DEF, aura ses côtés respectivement parallèles à ceux de ABC : ED' et BA seront parallèles comme perpendiculaires à DE; EF'et BC seront parallèles comme perpendiculaires à £F. D'ailleurs, les angles ABC, D'EF', qui ont leurs côtés parallèles, étant tous les deux aigus, ne peuvent être supplémentaires : ils sont donc égaux; par suite, les angles ABC, DEF, le sont aussi.
2* Si les deux angles comparés étaient obtus, on démontrerait de la même manière leur égalité.
3* Considérons enfin deux angles d'espèce différente, c'està-dire l'un ABC aigu, l'autre DEF obtus {Jifç. 48). En prolongeant EF au delà du sommet £, on forme un angle DEF, qui est le supplément de DEF ; cet angle DEF, est donc aigu comme l'angle ABC; d'ailleurs, il a ses côtés respectivement perpendiculaires à ceux de ABC. Les angles ABC et DEF, sont donc égaux et, par suite, les angles proposés ABC et DEF sont supplémentaires.
