VII. - APPENDICE

Propriétés générales des fx)lyè(lres.

THÉORÈME

088. Dans tout polyèdre convexe, le nombre des arêtes augmenté de % est égal au nombre des faces augmenté de celui des sommets.

Soient A le nombre des arêtes, F celui des faces, et S celui des sommets du polyèdre proposé; il faut démontrer Téga 11 té

(I) A-h2 = FH-S.

Considérons d*abord une surface polyérirale convexe ouverte^ terminée à une ligne brisée plane ou gauche. Si 1 on conserve les notations précédentes, les éléments analogues de cette surface satisferont à la relation

En effet, cette formule est vraie dans le cas d'une seule face; car pour un polygone, le nombre des arêtes est égal à celui des sommets. D'après un mode de démonstration connu, il suffit donc de prouver que la formule étant vérifiée dans le cas de F faces, elle l'est encore dans le cas de F -h I faces.

Pour cela, modifions la ligne brisée qui termine la surface polyéd raie en ajoutant à cette surface un polygone ayant m côtés et m sommets. Cette nouvelle face laissant toujours la surface ouverte, son contour ne pourra coïncider entièrement avec celui de la ligne terminale primitive; et si elle a avec celte ligne p aréles communes, elle aura avec elle /?-f- 1 sommets communs. En désignant par F', A', S', les nombres de faces, d'arêtes et de sommets de la nouvelle surface polyédrâle, on aura doné

Ces valeurs satisfaisant encore à la relation A -h i = F -1- S, la généralité de cette relation est établie.

Ceci posé, revenons au cas d'un polyèdre convexe et à l'égalité (1). Pour passer de ce polyèdre à une surface polyédrale ouverte, il suffit d'en

I06. GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE.

enlever une face. Les nombres d'arêtes et de sommets ne seront pas modifiés et resteront A et S; mais le nombre des faces diminué d'une unité deviendra F— i. En appliquant la relation trouvée à ces valeurs, on aura donC'

A-hi = (F-i)-hS, c'est-à-dire

(l) A-4-2 = Fh-S.

Le remarquable théorème exprimé par cette égalité a été découvert par^ Euler. La démonstration qui précède appartient à Cauchy.

Corollaires.

689. Soient, dans le polyèdre proposé, / le nombre des faros triangulaires, q le nombre des faces quadrangulaires, p celui des faces pentagonales, A, h\ o, etc., ceux des faces hexagonales, heptagonales, octogonales, etc. Chaque arôte étant commune à deux faces, on aura évidemment

(a) F = /-»-y-f-/i-hA-f- //'n-o-f-. .,. ,

(3) aA = 3/-h47-i- 5/?-4- 6A-i-7/i'-f-8o-4-

Soient T, Q, P, H, H',0, etc., les nombres d'angles trièdres, tétraèdres, penlaèdres, hexaèdres, etc., du polyèdre proposé; chaque arête unissant deux sommets, on aura de mémo

(4) S=T^-Q-^H^-H'-hO^-...,

(5) ' 2A = 3T-h40H-5P-h6H-h7H'H-8OH-....

D'après l'égalité (3), le nombre des faces dont le nombre des côtés est impair (c'est-à-dire le nombre t -^-p-hh' -^ . ,.) est toujours pair; d'après l'égalité (5), le nombre des angles polyèdres ou des sommets dont le nombre des arêtes est impair (c'est-à-dire le nombre T -+- P -h H' -h. . .) est toujours pair.

690. On peut exprimer F en fonction de T, Q, P, H, H', 0, etc. ; il suffit d'éliminer Set A entre les relations (i), (4) et '(5). On trouve

De même, on peut exprimer S en fonction de /, </, p, //, h\ o, etc. ; il suffit d'éliminer F et A entre les relations (i), (a) et (3). On trouve

(7) 2?=4-^/-f-ay-i- 3// -4- 4/n-5/i'-+-6o -h

SCOLIE

691 . Si Von conçoit la surface d'un jx>lyrdre convexe décomposée en plusieurs portions, chaque jfortion étant une face seule ou le système de plusieurs faces voisines, le théorème d' Euler a encore lieu entre le nombre des portions dont il s'agit, le nvmh/v ries arêtes qui scn>ent de