LIVRE YI. LES POLYÈDRES. IO
limites à ces mêmes jx)rtionSy et le nombre des sommets compris entre ces arêtes.
En effet, que les droites qui terminent chaque portion soient ou non dans un même plan, les nombres considérés ne varient pas. Or, dans la première hypothèse, sans rien changer à ces mêmes nombres, on pourrait former un nouveau polyèdre en substituant à chaque portion une face plane terminée au même contour, et le théorème d'Euler serait applicable à ce polyèdre.
Toutes les formules que nous venons d'établir subsistent dans ce cas; seulement, t est alors le nombre des portions de la surface terminées par un contour triangulaire, 7,/?, etc., les nombres des portions dont le contour est quadrangulaire, pentagonal, etc.
THËORÈMB.
692. Dans tout polyèdre convexe, le nombre des faces triangtdaires, augmenté de celui des angles trièdresy est au moins égal à huit.
En effet, si dans la relation (i), qu'on. peut écrire
on remplace F par la valeur (2), S par la valeur ( 4 ), et 4 A par la somme des valeurs (3) et (5), on trouve
D'après cela, // n^ existe aucun polyèdre convexe qui ne renferme ni face triangulaire y ni angle trièdre,
THÉORÈME
693. 1° Il n existe aucun polyèdre convexe dont toutes les faces aient plus de cinq côtés; 2° il n'existe aucun jmlyèdre convexe dont tous les angles polyèdres aient plus de cinq arêtes.
En effet :
1° Si, dans linégalité 2A> 3S, qui résulte de la comparaison des relations (4) et (5), on remplace A et S par les valeurs (3) et (7), on trouve la formule
3/ -+- 27 H-/7 > 12 -h {/i' -h ao -+-. . .),
qui pnouve que /, q et p, ne peuvent être nuls à la fois.
2** Si, dans l'inégalité 2A > 3F, qui résulte de la comparaison des relations (2) et (3), on remplace A et F par les valeurs (5) et ( 6), on trouve la formule
qui prouve que T, Q et P, ne peuvent être nuls à la fois.
I08. GÉOMÉTRIE DANS l'bSPAGE.
SCOLIE
694. La symétrie de la formule d'Euler par rapport aux nombres F et S et [i\ similitude des équations (2) et (4), (3) et (5), entraînent dans les relations qu'on peut en déduire une corrélation que le lecteur a sans doute déjà remarquée.
THÉORÈME
695. // ne peut exister que cinq espèces de polyèdres convexes dont toutes les faces aient le wéme nombre n de côtés et dont tous les angles polyèdres aient le même nombre m d^arétes.
En effet, chaque arête appartenant à deux faces et joignant deux sommets, on a
2A = /iF = /ifS.
L'élimination de A et de S entre ces équations et la formule d'Euler donne
%(m -h n) — mn
Pour /ï = 3, cette relation devient
et Ton no peut donner alors à m que les valeurs 3, 4 et 5, auxquelles répondent respectivement les valeurs F := 4? F = 8, F = 20. Pour /ï = 4 ou /? = 5, on a
F = r ou F =
4 — m 10 — 3/ii
On ne peut donner dans les deux cas à m que la valeur 3, et il en résulte F=6ouF=iîi.
Pour /ï = 6, on a
et Ton ne peut donner à m aucune valeur. Il en est de même à fortiori pour ^/> 6; ce résultat était d'avance indiqué par le théorème du n°693. II n'y a donc que cinq espèces de polyèdres convexes dont toutes les faces aient le même nombre de côtés et tous les angles polyèdres le même nombre d'arêtes : ce sont le lélraèdre, l'octaèdre et 1 icosaèdre à faces triangles; l'hexaèdre à faces quadrilatères; le dodécaèdre à faces 4)entagones.
THÉORÈME
696. L^ angle droit étant pris pour unité, la somme des angles de toutes les faces dUm polyèdre com'cxe est égale à quatxe fois le nombre des sommets diminué de a.
LIYHB VI. LES POLYÈDRES. lOg.
L'angte droit étant l'unité d'angle, on sait que, pour une face quelconque de n côtés, la somme des angles est in — 4. En désignant par n,n\ n\ etc., les nombres de côtés des différentes faces, on aura donc pour toutes les faces
(2/ï — 4)-h(aV—4)H-(2//— 4) -+-
Cette suite contiendra d'ailleurs F termes. La somme cherchée a donc pour expression
Chaque côté appartenant à deux faces, la parenthèse est égale à ik, et Ton obtient la formule •
4(A-F) ou 4(8-2),
d'après le théorème d'Euler.
Conditions d'égalité et de similitiule de deux jxïlyèdres convexes,
