LE.MME

697. Si y dans un angle polyèdre com^exe dont toutes les faces moins une seule demeurent constantes, un ou plusieurs angles dièdres non adjacents à la face qui peut varier augmentent ou diminuent toits à la fois, cette face elle-même augmente ou diminue,

Fig. 373.

Soit (Jlg. 372) Fangle polyèdre SABCDEF et, dans cet angle, la seule face qui puisse varier SÂB. Supposons d'abord qu un seul angle dièdre SO augmente ou diminue. Menons les plans ASD, BSD. Les deux angles polyèdres SBCD, SADEF, ne changent ni de forme ni de grandeur, puisque toutes leurs faces et les angles dièdres qu'elles comprennent restent constants. Par suite, si l'angle dièdre ASDB augmente ou diminue, comme il est compris dans l'angle trièdre SABD entre deux faces invariables de grandeur, la face opposée ASB augmente ou diminue (560).

Si plusieurs angles dièdres non adjacents à la face ASB augmentent ou diminuent à la fois, il en sera de même de cette face; c^r on peut faire varier isolément, et l'un après l'autre, les angles dièdres considérés et, d'après ce qui précède, chaque changement partiel en produira toujours un de même nature sur la face ASB.

IlO. GÉOMÉTRIE DANS L*BSPAC£.

Corollaire.

098. Si, toutes les faces demeurant constantes, certains dièdres d'un angle polyèdre viennent à changer, il est impossible que tous varient dans le même sens, c'est-à-dire il est impossible que tous augmentent ou que tous diminuent.

LËMME.

699.- Dans un angle polyèdre amvexe ayant plus de trois faces, toutes les faces demeurant constantes et P angle polyèdre restant convexe^ on suppose que plusieurs angles dièdres ont, les uns augmenté, les autres diminué; si alors, en faisant le tour de P angle polyèdre, on affecte du signe -h V arête de chaque angle dièdre augmenté, du signe — V arête de chaque angle dièdre diminué^ on trouvera toujours dans le tour entier au moins quatre variations de signes.

Il est impossible qu'il n*y ait que deux variations de signes, c*est-àdire il est impossible qu'à une série de signes -h succède une série de signes — qui ramène au premier signe -+-. En effet, ^\{fig. 872), les arêtes SA, SF, SE, étant affectées du signe -+-, les arêtes suivantes SD, SC, SB, étaient affectées du signe — , la face ÂSE qui sépare les deux angles polyèdres SÀFE, SEDCBA, augmenterait dans Tun et diminuerait dans l'autre (697).

Puisqu'il y a plus de deux variations de signes et qu'on doit fermer le circuit en rejoignant le signe qui a servi de point de départ, il est impossible que le nombre des variations soit impair. Puisque ce nombre est pair et plus grand que 2, il est au moins égal à 4.

THÉORÈME

700. Dans un polyèdre convexe dont toutes les faces sont constantes y les angles dièdres sont aussi constants,

« En effet, supposons, contre l'énoncé ci-dossus, que. l'on puisse faire » varier les inclinaisons des faces adjacentes, sans détruire le polyèdre; » et pour simplifier encore la question, supposons d'abord que l'on puisse » faire varier toutes les inclinaisons à la fois. Les inclinaisonssur certaines » arêtes varieront en plus, les inclinaisons sur d'autres arêtes varieront j» en moins; et en comparant deux à deux, relativement aux signes de » leurs variations, les inclinaisons des arêtes qui, dans chaque face, abou- » tissent aux mêmes sommets, on trouvera, en passant successivement » d'une arête à l'autre, plusieurs changements de signes. C'est le nombre T) de ces changements que nous allons chercher à déterminer (*). »

Il suit du lemme précédent que chaque angle polyèdre présente sur ses.

(*) Cacchy, Journal de V École Polytechnique, XVI« Cahier, p. 96.