LIVRE VI. — LES POLYÈDRES. III

aréles au moins quatre chatige méats de signes. Le nombre des changements de signes obtenus en considérant tous les angles polyèdres du polyèdre serait donc au moins égal à 4^- Or il est aisé de voir que cela est impossible.

Remarquons qu'en faisant le lourde chaque sommet ou en faisant celui du périmètre de chaque face, on doit trouver le même nombre total de variations de signes. En effet, chaque variation de signes autour d'un sommet correspond à deux arêtes de signes différents qui se suivent sur le périmètre d'une même face, et réciproquement.

Mais, sur un périmètre, le nombre des variations ne peut dépasser le nombre des côtés et ne peut être impair; car, puisqu'on doit revenir au point de départ, chacfUe variation en entraine nécessairement une seconde. Chaque face triangulaire ne peut donc fournir plus de deux changements de signes; les quadrilatères et les pentagones ne peuvent en fournir plus de quatre ; de même, les hexagones et les heptagones plus de six, et ainsi de suite. Toutes les faces ou tous les sommets du polyèdre ne pourront donc donner plus de changements de signes qu'il n'y a d'unités dans la somme

2/ -h 4<y-j-4/^ -f- G/i-hùh' -hSo-h

Or cette somme est inférieure à 4S; car on a (090), d'après la formule (7),

Il faut en conclure qu'il est impossible que les inclinaisons sur les arêtes changent toutes à la fois.

a Si 1 on suppose, en second lieu, que, dans le polyèdre donné, non- » seulement les faces^ mais encore les inclinaisons sur plusieurs arêtes » restent invariables, et que cependant on puisse, sans détruire le po- 9 lyèdre, faire varier les inclinaisons sur les arêtes restantes; alors, pour 9 démontrer l'absurdité de l'hypothèse, il suffira de concevoir la surface » du polyèdre décomposée en autant de portions que les arêtes sur les- » quelles les inclinaisons varient forment de contours différents, et d'ap- » pliquer aux portions, aux arêtes qui les terminent, et aux sommets y> compris entre ces arêtes, les mêmes raisonnements que nous avons ap- » pliqués, dans l'hypothèse précédente, aux faces, aux arêtes et aux som- 9 mets du polyèdre (*]. » On y parviendra en s'appuyant encore sur le lemme précédent et sur le scoliedu n'' 69I.

Corollaires.

701. Il suit du théorème précédent que deux polyèdres convexes, compris sous un même nombre de faces égales, sont égaux ou symétrhpœs, suivant que les faces égales sont ou non semblablemcnt placées.

(*) Caccby, loc, cie.

702. Il suit encore du théorème précéilcnfque, lorsque deux polyèrlrcs cont'ejres sont compris .sous un mente nombre de faces sembUibics^ le second est semblable au premier ou h un troisième polyèdre symétrique du premier, suivant que les faces semblables sont ou non sembîablemont placées.

PROBLÈME

703. Chercher le nombre de conditions nécessaires pour déterminer un polyèdre convexe,

i" I^ polyèdre est d'une nature déterminée, c'est-à-dire qu on connail pour ce polyèdre les nombres A, F, S, t, q, p, h, h\ etc.

Prenons pour base une des faces du polyèdre; Si elle a n côtés, il faut 2/7—3 conditions pour la déterminer. Il y a hors de cette base S — n sommets. Pour déterminer un point dans l'espace, il faut 3 conditions. On aurait donc en tout a/i — 3 -♦- 3 (S — /i) ou 3S — /i — 3 conditions. Mais les sommets qui répondent à une même face sont dans un même plan^ et trois points suffisent pour déterminer un plan. Par conséquent, pour tous les sommets d'une môme face, en sus des trois premiers, il ne faut réellement que deux conditions. On doit donc diminuer 3(S — /i) deld somme (/i' — 3) -f- (/i"— 3) -t- («''— 3) -h..., en désignant par n'j w*, /i*", . . . , les nombres de c^lés des F — i faces qui restent en dehors de la base choisie. Le nombre de conditions demandé est donc finalement

mais (688, 689]

/ïH-/i'-t-A?'H-/i'"-h... = 2A et S-hF — 2=A.

Le nombre cherché se réduit donc à A. Ainsi, le nombre de données nécessaires pour déterminer un polyèdre, dans les conditions indiquées, ^a/ égcd au nombre de ses arêtes.

a Remarquez cependant que les données dont il s'agit ne doivent pas » être prises au hasard parmi les lignes et les angles qui constituent les n éléments du polyèdre; car, quoiqu'on eût autant d'équations que d'in- » connues, il pourrait se faire que certaines relations entre les quantités » connues rendissent le problème indéterminé. Ainsi il semblerait, d après n le théorème qu'on vient de trouver, que la connaissance des arêtes » seules suffit en général pour déterminer un polyèdre; mais il y a des » cas où cette connaissance n'est pas suffisante. Par exemple, étant donné » un prisme non triangulaire quelconque, on pourra former une infinité » d'autres prismes qui auront des arêtes égales etpiac^ de la même ma- » nière. Car, dès que la base a plus de trois cêtés, on peut, en conser- » vanl les côtés, changer les angles et donner ainsi à cette base une infi- » nité de formes difiTérentes; on peut aussi changer la position de Tarète