AD ^^ ., . A .« ^^^ ~ AB ~ AR
(*) Legendre, éléments de Géométrie, \t\^ édition, Note VIIL
Il4- GÉOMÉTRIE DANS l'eSPAGB.
Supposons actuellement que la droite AB et l'axe XY ne soient pas dans un même plan (Jig, 374) ; la projection ah est alors égale à la ï)ortion de l'axe XY comprise entre deux plans M et N menés par A et B perpendiculairement à cet axe, ou bien encore à la portion AD de la piirallèle ^ l'axe menée par le point A jusqu'à la rencontre du plan N. Or If» triangle rectangle ABD donne
AD — AB cosa ou ab = AB cosa.
THÉORÈME
706. L^nire de la projection (Pun triangle sur un plan est égale n Paire de ce triangle multipliée par le cosinus de l'angle aigu que forme le plan du triangle avec le plan de projection,
l'itf. 375. Fig. 376.
rCTcl
Supposons d'abord que le triangle proposé ABC ait un de ses côtés BC situé dans le plan P de projection [fg. 376). Si de la projection a du sommet A on mène la perpendiculaire «D sur BC, la droite AD sera, en vertu du théorème des trois perpendiculaires, la hauteur du triangle ABC. Or, le rapport des triangles r/BC, ABC, de même base BC, est égal au rapport des hauteurs /7D et AD, c'est-à-dire au cosinus de l'angle aigu XDa qui mesure l'inclinaison des deux plans.
Considérons actuellement un triangle ABC placé d'une manière quelconque par rapport au plan de projection [fg. 376), et menons par le sommet B le plus voisin de ce plan un plan F qui lui soit parallèle. La projection «Bcdu triangle ABC sur le plan P' est égale à celle qu'on obtiendrait en le projetant sur le plan primitif. Or, soient 0 le point où le côté AC prolongé rencontre le plan P', et a l'angle du plan ABC et du plan de projection ; le triangle ABC étant la différence de deux triangles ABO, CBO, qui ont un côté BO dans le plan P', on a
/7Bc= rtBO — rBO= ABO cosa — CBO cosa = (ABO — CBO) cosa r= ABCcosa.
C0ROLIAIRG.
707. Le théorème s'étend à la projection de Vaire d*un polygone plan et même dhine courl)e plane fermée ,
11 suffit de faire voir que la proposition a lieu pour un polygone, puisqu'une courbe n'est qu'un polygone d'un nombre infini de côtés infiniment petits.
UVBE VI. — - LES POLYÈDRES. Il5.
Or, soient T,T',T',,.. les aires des triangles qui composent le polygone plan P et r, /', t\,,, les triangles correspondants du polygone /?, qui est la projection de P; chacun des triangles de la deuxième série est évidemment la projection du triangle correspondant de la première, et si l'on appelle a Tinclinaison du plan du polygone P sur le plan de projection, on a
/ = Tcosa, /'=rT'cosa, ^'' = T" cosa, . . . ,
d'où, en ajoutant,
/-+-^'-h^''-h...=::(T-^T'-4-T''-|-...)C0Sa OU /^ = PcOSa.
Centre- des distfinc.es proportionnelles.
708. Soient A et B deux points donnés, a un coefficient ou nombre fixe, d'ailleurs positif ou négatif, correspondant au point â, et ê un coefficient relatif au point B. On sait (306) que, sur la droite indéfinie qui passe par
MA
les points A et B, il existe un point unique M tel, que le rapport ^r= soit
Mo
égal en grandeur et en signe à Projetons les trois points A, B, M,
sur un plan quelconque P, parallèlement à une direction donnée arbitrairement, et proposons-nous de déterminer la longueur de la projetante MM, ou z du point M en fonction des coefficients a et 6, et des projetantes AA, = « et BB, = ^ des points A et B.
Il y a .deux cas à distinguer, suivant que les coefficients a et S sont de même signe ou de signes contraires.
i^ig^ 377.
B C ll^-^^jj
p/ AT'iir'By
Dans le premier cas [fig. 377), le rapport — -est négatif et, par suite
(306, 187), le point M est situé entre A et B. D'ailleurs, en menant CMD
parallèle au plan P, on voit que le rapport rr^ est égal , en valeur ab-
, 3, AC z — a . 6 MA z — a ,, ,
^'"'' ^ BD = î^î °" "<*•'"•'-;== MB =- Âiri' d ou
Dans le #cond cas [fg, 378), le rapport est positif et, par suite, le
Il6. GÉOMÉTRIE DAISS l'eSPAGE.
point M esl situé sur l'un des prolongements de ÂB (306, 187). On a
alors
6 MA a — z z — a
a ~ MB b — z z — b
d'où
C'est la même formule que dans le premier cas. a + 6 sera le coefficient attribué au point M.
709. Nous avons supposé jusqu'ici que les points A, B, M, étaient situés d'un même côté du plan P; mais cette restriction n'est pas nécessaire, et la formule (i) subsiste pour toutes les dispositions possibles de la figure, pourvu qu'on regarde les nombres «, b^ z, qui mesurent les projetantes, comme positifs pour les points situés d'un côté du plan P, et comme négatifs pour les points situés du côté opposé.
En efiet, les points A, B, M, étant situés d'une manière quelconque par rapport au plan P, menons un plan P' parallèle à P et à une distance // assez grande pour que les trois points A, B, M, soient au-dessus du plan P'. Alors, si fl', b\ z\ mesurent les projetantes relatives à ce plan P, on aura 708)
En retranchant de cette égalité l'identité
on obtient la relation
(a-f-^) (z'-h) = (a'^-/i)(i-h{b'-/t]fj.
Mais, en ayant égard aux signes des projetantes, on a toujours
2'-// =3, a'-h = a, b'-h.= b, /7, 6, Z, étant les projetantes relatives au plan P. Donc la formule
(a-h6) z = ax-^b^i subsiste dans tous les cas.
710. Cela posé, soient A, B, C, D, . . .,L, autant de points qu'on voudra, situés d'une manière quelconque dans l'espace; désignons par «,6,7, •î,. . . ,>, les coefficients correspondants, et par «, b, c^rl,, . .,/, les nombres positifs ou négatifs qui mesurent les droites projotjmt obliquement ou orthogonalement les points A, B, C, D,. . ., L, sur un plan quelconque P.
Sur la droite AB {^g. 379) prenons le point M, tel, que
