La formule (2), qu'on peut écrire (3) z,2a = l«a

Il8. GÉOMÉXBIB DANS l'eSPàCE.

en désignant en général par la notation 2 a la somme de tous les coefficients et par lacn la somme de tous les produits aa, 66, ... , l\ exprime que la somme des produits obtenus en midtipliant la projetante de chaque point par son coefficient est égale au produit de la projetante du centre des distances proportionnelles par la somme des coefficients.

Pour que z soit nul, il faut et il suffit que I^a le soit, car on suppose expressément que la somme la des coefficients donnés est différente de zéro. Donc, pour qu'un plan passe par le centre des distances proportionnelles, il faut et il suffit que la somme des produits obtenus en multipliant cfiaque projetante relative à ce plan par le coefficient correspondant, soit égale à zéro. Cette condition se réduit à 2a = o, lorsqu'il s'agit du centre des moyennes distances.

71 â. Nous remarquerons enfin que, dans le cas où tous les points donnés A, B, G,. . ., L, sont dans un même plan.Q, le centre M est aussi dans ce plan. Si on prend alors pour direction des projetantes une parallèle au plan Q, tous les pieds des projetantes seront situés sur l'intersection XY du plan Q et du plan P de projection ; cela revient donc à projeter sur une droite quelconque XY du plan Q.

Centre de gravité.

743. On appelle centre de gravité d'une ligne droite AB le centre des moyennes distances de ses extrémités A et B, c'est-à-dire par conséquent le milieu de cette droite.

Le centre de gravité d^ une ligne brisée plane est le centre des distances proportionnelles des centres de gravité des divers côtés de ce contour polygonal, ces centres ayant des coefficients proportionnels aux côtés correspondants.

Il est aisé de voir, d'après cela, que le centre de gravité du périmètre d'un triangle ABC est le centre 0 du cercle inscrit au triangle A'B' Q! formé en joignant les milieux des côtés du triangle jf>rimitif {fig. 38o). En effet, si l'on mène les trois hauteurs A'A', B'B^ C'C", du triangle A'B'C, et si l'on applique la formule (3) en projetant successivement sur chacun des côtés de ce triangle, on trouve