LIVRE VI. — LES POLYÈDRES. l3l

par un tétraèdre unique reposant sur sa base supérieure ; déterminer la position du point S qui rend minimum l'aire du décaèdre ainsi construit (alvéole des abeilles).

690. Sur une première droite AA', on donne deux points fixes a et b; sur une seconde droite quelconque BB', denx points mobiles ceid restent à une distance constante : chercher pour quelle position du segment cd Taire de la pyramide abcd est minimum.

§§ V, VI. — Figures symétriques. — Polyèdres semblables,

691. Déterminer les arêtes d'un parallélipipède rectangle, sachant qu'elles sont proportionnelles aux nombres a^ b, c, et que le volume du parallélipipède est V.

692. Chercher le rapport des volumes de deux tétraèdres, dont l'un a été formé en menant par les sommets de l'autre des plans paraUèles aux faces opposées.

693. Deux tétraèdres sont semblables : i** lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris entre deux faces semblables chacune à chacune et semblabicment disposées; 2° lorsqu'ils ont une face semblable adjacente à trois angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés; 3° lorsqu'ils ont trois faces semblables chacune à chacune et semblablement disposées ; 4*" lorsqu'ils ont cinq angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés.

694. Les carrés des volumes de deux polyèdres semblables sont proportionnels aux cubes de deux faces homologues.

695. Une droite comprise entre deux faces d'nn polyèdre donné est divisée en plusieurs segments; sur chaque segment, considéré comme l'homologue de la droite donnée, on construit un polyèdre semblable au polyèdre donné. Démontrer que l'aire de ce polyèdre est égale au carré de la somme des racines carrées des aires des polyèdres segmentaires, et que son volume est égal au cube de la somme des racines cubiques des volumes de ces mêmes polyèdres.

696. Construire deux droites qui soient dans le même rapport que deux cubes donnés.

697. Démontrer que le tétraèdre formé en joignant les points de rencontre des médianes des faces d'un tétraèdre donné, est semblable au symétrique de ce tétraèdre: chercher le rapport des volumes de ces deux tétraèdres.

698. On nomme centre de symétrie d^ un système de points un point 0 tel, qu'en le joignant à un point quelconque A du système et en prolun-

l32- GÉOMÉTRIE DÀI9S l'eSPACB.

géant la droite AO d'une quantité égale à elle-même, le point A' ainsi obtenu soit aussi un point du système proposé. — Démontrer d'après cela que, dans tout système de points limité, il ne peut exister qu'un centre de symétrie.

699. On nomme axe de symétrie d'un système de points une droite telle, qu'en faisant tourner le système d'un certain angle autour de cette droite, la nouvelle position de chaque point du système soit l'ancienne^ position d'un certain point du même système. — Démontrer que le plus petit des angles capables de restituer ainsi le lieu des points du système, dans la rotation de ce système autour d'un axe de symétrie, est une partie aliquote - de 36o degrés. Suivant que 7 est égal à 2, 3, 4> • • • j l'axe

de symétrie est binaire^ ternaire^ quaternaire^ ... ; 7 est l'ordre de symétrie,

700. On nomme plan de symétrie d'un système de points un plan tel, qu'en abaissant d'un point quelconque du système une perpendiculaire sur ce plan et en prolongeant cette perpendiculaire d'une quantité égale à elle-même, l'extrémité ainsi obtenue soit encore un point du système. — Démontrer que, si un système possède divers axes et divers plans de symétrie, tous ces axes et tous ces plans doivent se couper en un même point.

701. Dans tout système possédant un plan et un centre de symétrie, la droite menée par le centre normalement au plan est un axe de symétrie d'ordre pair.

702. Lorsqu'un système possède deux plans de symétrie, l'intersection de ces plans est un axe de symétrie.

703. Un système dépourvu d'axe de symétrie ne peut posséder à la fois un centre et un plan de symétrie.

704. Lorsqu'un système possède deux plans de symétrie non rectangulaires, il en possède un troisième.

705. Lorsqu'un système possède un plan P de symétrie et un axe L de symétrie oblique à ce plan, la droite L' homologue de L par rapport au plan P est un nouvel axe de symétrie.

706. Lorsqu'il existe dans un système deux axes de symétrie binaires, la perpendiculaire menée au plan de ces axes par leur point d'intersection est un axe de symétrie.

707. Lorsqu'un système possède trois axes quaternaires rectangulaires entre eux^ il possède en même temps quatre axes ternaires.

708. Étudier les polyèdres considérés dans le livre précédent, sous le rapport de leurs centres, de leurs axes et de leurs plans de symétrie.