LIVRE VI. — LES POLYÈDRES. l

§ VU. — Appendice.

709. Soit un polyèdre divisé en P autres polyèdres quelconques ; soient S le nombre des sommets de ces différents polyèdres y compris le premier, F le nombre de leurs faces, A le nombre de leurs arêtes; on aura la formule

A-hP-Hi=F-+-S.

7i0. En se reportant à l'exercice précédent, quelle est la relation entre les nombres d'arétos, de faces et de sommets appartenant à Ja surface extérieure du polyèdre proposé, et les nombres d'éléments analogues situés à l'intérieur de ce polyèdre?

71i . Étant données autant de droites qu*on voudra passant par un même point 0, trouver le lieu des points tels, qu'en abaissant de ces points des perpendiculaires sur les droites données, la somme des produits des distances du point 0 à ces perpendiculaires par des droites données soit égale à un carre donné m'.

7i2. Étant donnes autant de plans qu'on voudra passant par un même point, trouver le lieu des points tels, que la somme des produits de leurs distances aux plans donnés par des droites données soit constante.

713. La somme des carrés des cosinus dès angles qu'une droite ou un plan forme avec trois axes ou trois plans pependiculaires entre eux est égale à l'unité.

7i4. Le carré d'une droite ou d'une aire plane quelconque est égal à la somme des carrés de ses projections sur trois axes ou sur trois plans perpendiculaires entre eux.

715. Si A et A' sont les aires de deux figures situées dans un même plan, P et P', Q et 0', R et R', les projections de ces deux figures sur trois pians perpendiculaires entre eux, on a

AA' = PP'-hQO'-HRR'.

71G. Étant donnés les angles que deux droites ou deux plans forment respectivement avec trois axes ou trois plans rectangulaires, trouver l'angle de ces deux droites ou de ces deux plans.

717. Étant données les projections d'une droite ou d'une aire plane sur trois axes ou sur trois plans rectangulaires, trouver sa projection sur un quatrième axe ou un quatrième plan qui fait des angles connus avec les

Urois premiers.

718. La somme des carrés des projections d'autant de droites ou d'autant d'aires planes qu'on voudra sur trois axes ou sur trois plans rectangulaires quelconques est constante.

l34. GÉOMÉTRIE BANS l'bSPACE.

719. Trouver TaXe ou le plan sur lequel la somme des projections de droites ou ^Jaires planes données est un maximum/— Cette même somme est constante lorsqu'on projette sur des axes ou des plans faisant le môme angle avec Taxe ou le plan de projection maximum.

720. Dans un polygone quelconque, la somme des projections de tous les côtés sur un axe quelconque est égale à zéro. — Dans tout polygone convexe, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés de tous les autres, moins deux fois la somme des produits obtenus en multipliant cos mêmes côtés deux à deux et par le cosinus de l'angle qu'ils comprennent.

721. Dans un polyèdre convexe quelconque : i° la somme des projections de toutes les faces sur un plan quelconque est égale à zéro ; ii? le carré de l'une des faces est égal à la somme des carrés de toutes les autres, moins deux fois la somme des produits obtenus en multipliant ces mêmes faces deux à deux et par le cosinus du dièdre qu'elles comprennent.

722. Lorsque le volume d'un tronc de prisme et Tune des bases A restent fixes, le plan de l'autre base B passe par un point fixe, et l'aire de cette base B est minimum lorsque son plan est perpendiculaire aux arêtes du tronc.

723. De toutes les pyramides de n faces latérales, qui ont même hauteur et des bases équivalentes, c'est la pyramide régulière qui a la plus petite aire latérale. — De toutes les pyramides dont la base a n côtés et dont les aires latérales sont équivalentes, c'est la pyramide régulière qui a le plus grand volume.

724. De tous les tétraèdres dont les aires sont équivalentes, le tétraèdre régulier a le plus grand volume.

725. La base d'un tétraèdre est semblable à un triangle donné; la somme de cette base et d'une face latérale est constante; enfin, les deux autres faces sont perpendiculaires à la base : de tous les tétraèdres qui remplissent ces conditions, celui dont la base est un quart de la somme donnée a le plus grand volume.

726. La base p d'une pyramide a n côtés et est semblable à un polygone donné ; la somme p -h a de cette base et d'une face latérale a est constante : le volume de la pyramide est maximum lorsque, a étant égale à af, la face latérale a est perpendiculaire à la base p.

727. Démontrer que, dans la recherche du centre des distances proportionnelles d'un système de points, on peut remplacer plusieurs de ces points par leur centre particulier, pourvu qu'on donne à ce centre un coefficient égal à la somme des coefficients des points correspondants. — Inversement, on peut remplacer un point par plusieurs autres dont il est le centre, et dont la somme des coefficients est égale à son coefficient.