CD<CF + FD

longeons les côtés AB et BC jusqu'à ce qu'ils coupent en £ et en F le contour polygonal AMND. Nous pourrons écrire les inégalités suivantes :

■NF,

Si nous ajoutons ces inégalités membre à membre, il viendra, en opérant les réductions et additions,

AB + BC + CI) < AM -h MN -h ND.

On prouverait de la même manière que toute ligne polygonale convexe ABCD est moindre que toute ligne polygo^ nale EFGUIK qui l'enveloppe de toutes parts (Jig, Sa).

THÉORÈME

75. La somme des angles d'un triangle quelconque ABC est ^gale à deux angles droits [fig* 53 ).

Fig. 53.

En effet, prolongeons BC et menons CE parallèle à BA. Les angles BAC, ACE, sont égaux comme alternes-internes, par rapport aux parallèles AB et CE coupées par AC. Les angles ABC, ECD, sont égaux comme correspondants, par rapport aux parallèles BA et CE coupées par BD. D'après cela, la somme des trois angles du triangle ABC est la même que celle des trois angles BCA, ACE, ECD, formés autour du point C au-dessus de la droite indéfinie BD; celte somme est donc égale à deux angles duoits (20).

ScOLIE.

76. On voit par celte démonstration que Vangle ACD est In somme (9) des deux angles B et A ; ainsi, tout angle extérieur

d'un triangle, c'esl-à-dire loul angle formé par un côlc cl le prolongement d'un autre côté, est égal à la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

Corollaires.

77. Un triangle ne saurait avoir qu'un seul angle droit et, à fortiori, quun seul angle obtus,

78. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémen t aires.

79. Un angle quelconque d'un triangle est le supplément de la somme des deux autres. D*o il il suit que si deux triangles ABC, A'B'C, ont deux angles égaux chacun à chacun, A = A' et B = B', le troisième angle C du premier triangle est égal au troisième angle C de l'autre. 11 en résulte que deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un côté égal et deux angles égaux chacun à chacun, que ces angles soient ou non adjacents au côté égal. .

80. Deux triangles ABC, A'B'C, qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires chacun à chacun, ont leurs angles égaux chacun à chacun.

En effet, deux angles qui ont leurs côtés parallèles ou perpendiculaires étant égaux ou supplémentaires, on a

A -- A' ou A -f- A' — 2^ B- B' ou B-f-B'^ î'',

Cr-re OU C-f-C'r-:^*'.

On ne peut donc faire que les trois hypothèses suivantes :

I« A-+-A' = a'', B-4-B'rrr2^, C + C :^ 2^

3» A r^ A', B :=: B', ct par suite (79 ), C — Q!.

Or dans le premier cas, la somme des angles des deux triangles vaudrait 6 angles droits; dans le second cas, cette somme surpasserait 4 angles droits de la quantité A -+- A' = 2 A. La troisième combinaison est donc seule possible.

THÉORÈME

81. La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe ABCDEF est égale à autant de fois deux angles droits qu'il a 4^ côtés moins deux {fig> 54).

Enjoignant l'un des sommels A à tous les sommets non adjacents, on décompose le polygone en autant de triangles qu'il a de côtés moins deux; car chaque triangle contient un seul côté du polygone, excepté les deux triangles extrêmes, qui renferment chacun deux côtés de ce polygone. La somme des angles du polygone est égale à celle des angles de tous ces triangles; elle vaut donc autant de fois deux angles droits qu'il y a de triangles, c'est-à-dire autant de fois deux angles droits que le polygone a de côtés moins deux.

SCOLIB.

fô. Si Ton désigne par n le nombre des côtés du polygone, la somme de ses angles aura pour expression, en prenant l'angle droit pour unité,

2(/l— 2) ou 2/1 — 4-

On peut donc dire que la somme des angles d'un polygone s'obtient en doublant le nombre des côtés et en retranchant 4 du résultat j l'angle droit étant toujours pris pour unité.

Fig. 54. Fig. 55.

Si l'on fait dans la formule précédente /t = 4» ^^ trouve 4 pour la somme cherchée. La somme des angles d'un quadrila^ tère est donc égale à quatre angles droits; d'où il suit que si un quadrilatère a tous ses angles égaux, chacun de ces angles droit.

4o GÉOMÊTRIB PLANE.

Corollaire.

83. La somme des angles qu'on forme à l* extérieur d'un polygone convexe, en prolongeant successivement ses côtés dans le même sens, est égale à quatre angles droits {Jlg. 55).

En effet, la somme d'un angle extérieur quelconque NAG et de l'angle intérieur adjacent FAB est égale à deux angles droits; donc, la somme des angles, tant intérieurs qu'extérieurs du polygone, est égale à autant de fois deux angles droits qu'il a de sommets ou de côtés. Cette somme surpasse donc de quatre angles droits (82) la somme des angles intérieurs : en d'autres termes, la somme des angles extérieurs est égale à quatre angles droits.

Il convient de remarquer qu'un polygone convexe ne saurait avoir d'après cela plus de trois angles intérieurs aigus; sans quoi, il aurait plus de trois angles extérieurs obtus, et la somme de ses angles extérieurs surpasserait quatre angles droits.