Parmi les quadrilatères, on distingue
i" Le parallélogramme (^g^. 56), qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux; 2" Le rectangle (Jig, 57), qui a tous ses angles égaux entre
Fie- 56. Flç. 57. Fi{j. 5P.
Fie. 59. lip. Co.
eux : il résulte du n° 8*2 que les quatre angles d'un rectangle sont droits;
3* Le losange [Jig'SS), qui a tous ses côtés égaux enire eux : nous démontrerons dans ce paragraphe que le rectangle et le losange sont des parallélogrammes;
4* Le carré [Jig, 59), qui a ses côtés égaux et ses angles égaux : le carré est à la fois un losange et un rectangle;
5" Le trapèze {^g'*6o), dont deux côtés opposés seulement sont parallèles. Le trapèze est rectangle lorsqu'un de ses côtés non parallèles est perpendiculaire sur les deux côtés parallèles; il est isocèle lorsque ses deux côtés non parallèles sont égaux.
THÉORÈME
85. Dans tout parallélogramme : i* Les côtés opposés sont égaux deux à deux : 2« Les angles opposés sont égaux deux à deux ; 3" Les diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales.
Soit le parallélogramme ABCÏ) (fig, 61).
Fîg.ôi.
I* Deux côtés opposés quelconques AB et CD, par exemple, sont égaux entre eux; car ce sont, par hypothèse, deux droites parallèles comprises entre deux autres droites parallèles AD etBC(68).
2* Deux angles opposés quelconques, DAB et BCD, par exemple, sont égaux entre eux; car ils sont formés par des côtés parallèles deux à deux et de sens contraires (70). AB et CD sont en effet parallèles et de sens contraires, et il en est de même de AD et de CB.
3« Chacune des diagonales AC et BD est coupée par l'autre, au point O, en deux parties égales. En effet, les deux triangles AOB, DOC, ont un côté égal adjacent à deux angles égaux, savoir : le côté AB égal au côté DC, comme côtés opposés du parallélogramme; l'angle OAB égal à l'angle OCI), comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB et CD coupées
par AC; et l'angle OBA égal à Tangle ODC, comme allernesinternes par rapport aux mêmes parallèles coupées par BD. Les triangles AOB, DOC sont donc égaux. Par suite, le côté OB, opposé à Tangle OAB, est égal au côté OD opposé à l'angle OCD, et le côlé OA opposé à Tangle OBA est égal au côté OC opposé à l'angle ODC.
THÉORÈME
86. Un quadrilatère est un parallélogramme : I" Si ses côtés opposés sont égaux deux à deux; 2® Si ses angles opposés sont égaux deux à deux ; 3® Si deux côtés opposés sont à la fois égaux et parallèles; 4" Si ses diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales.
Soit le quadrilatère ABCD {Jig, 62).
i** Menons la diagonale AC. Les deux triangles ABC, ADC, sont égaux comme ayant les trçis côtés égaux, savoir : AC commun, AB et CD égaux entre eux par hypothèse, ainsi que AD et BC. Par suite, l'angle BAC opposé à BC est égal à l'angle ACD opposé à AD; et comme ces angles occupent, par rapport aux deux droites AB et CD et à la sécante AC, la position d'alternes-internes, les deux côtés AB et CD sont parallèles (65). De même, l'égalité des angles BCA et CAD entraîne le parallélisme des deux autres côtés AD et BC. Donc, le quadrilatère ABCD ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux est un parallélogramme.
Fig. 62. Fig. 63.
2"* Les angles opposés A et C étant égaux entre eux, ainsi que les angles B et D {Jlg. 63), on voit que deux angles consécutifs quelconques, B et C par exemple, ont une somme égale à la moitié de la somme des angles du quadrilatère, c'est-à-dire à deux droits. Ces deux angles B et C étant supplémentaires, et, de plus, intérieurs d'un même côté par rapport aux deux droites AB et CD coupées par BC, ces mêmes
droites sont parallèles (65). On démontrerait de même que, les angles A et B étant supplémentaires, les deux autres côtés opposés, AD et BC, sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme.
3® Soient AB et CD les deux côtés opposés que Ton suppose égaux et parallèles (Jig-6i). En menant la diagonale AC, on forme deux triangles ABC, ADC, qui ont un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir : Fangle BAC égal à l'angle ACD, comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB et CD coupées par AC; le côté AB égal au côté CD par hypothèse, et le côté AC commun. De l'égalité des triangles ABC, ADC, résulte celle des angles ACB et CAD ; et comme ces angles sont alternes-internes par rapport aux deux droites AD et BC coupées par AC, ces mêmes droites sont parallèles. Le quadrilatère ABCD ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux est un parallélogramme.
4* Puisqu'on suppose 0A = OC et OB = OD (/g-.6i), les angles AOB et COD étant d'ailleurs opposés par le sommet, les deux triangles AOB, COD, sont égaux (34). Donc, l'angle OAB est égal à l'angle OCD. D'ailleurs, ces angles étant alternesinternes par rapport aux droites AB et CD coupées par AC, les côtés opposés AB et CD sont parallèles. De l'égalité des triangles AOD, BOC, on déduirait pareillement l'égalité des angles CAD, OCB, et, par suite, le parallélisme des deux autres côtés opposés AD et BC. Le quadrilatère ABCD, ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux, est donc un parallélogramme.
THÉORÈME
87. Tout rectangle est un parallélogramme dont les diagonales sont égales {Jig. 64).
Fig. 6/,.
D'abord, tout rectangle est un parallélogramme, puisque ses angles opposés sont égaux (86, a*»). En second lieu, les deux triangles DAB, CBA, par exemple, sont égaux comme ayant un
angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir: l'angle droit DAB égal à Tangle droit CBA, le côté AB commun, et le côté AD égal au côté BC, comme côtés opposés d'un parallélogramme; donc, les diagonales AC et BD, hypoténuses des triangles rectangles égaux DAB, CBA, sont égales.
88. Réciproquement, tout parallélogramme dont les diagonales sont égales est un rectangle [Jlg»^^)' Car les triangles DAB, CBA, sont alors égaux comme ayant leurs trois côtés égaux : donc, l'angle DAB est égal à Tangle CBA, et comme chacun d'eux est égal à son opposé (85), on volt que le parallélogramme considéré a tous ses angles égaux et, par suite, est un rectangle.
THÉORÈME
89. Tout losange est un parallélogramme dont les diagonales sont : I* perpendiculaires l'une sur Vautre; 2® hissée^
trices des angles opposés (Jig. 65).
Fig. 65.
D*abord, tout'Iosango est un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont égaux (86, i").
En second lieu, les triangles ABC et ADC étant isocèles, puisque les quatre côtés d'un losange sont égaux, la diagonale BD, qui passe par le milieu 0 de la diagonale AC, est à la fois perpendiculaire sur AC et bissectrice des angles B et D (38). Pour une raison analogue, la diagonale AC est bissectrice des angles A et C.
90. Réciproquement, tout parallélogramme est un losange : 1* si ses diagonales sont perpendiculaires l'une sur l'autre; 2" si l'une d'elles est bissectrice des angles dont elle unit les sommets.
SCOLIE
91. Tout carré est un parallélogramme dont les diagonales sont égales, perpendiculaires entre elles et bissectrices des angles opposés; réciproquement, tout parallélogramme est un carré lorsque ses diagonales sont ; i® égales et perpendiculaires entre elles; 2? égales, l'une d'elles étant en outre la bissectrice des angles dont elle unit les sommets,
La démonstration de ces deux propositions (90, 91) n'offre aucune difficulté.
9IJESTIO]VS PROPOSEES ( ' ).
§ I. — Des' angles.
1. La distance d'un point quelconque M d'une droite AB au milieu 0 de celte droite est égale à la demi-différence des distances de ce point M aux extrémités  et B de cette droite. Si le point M est pris sur le prolongement de la droite ÂB, la distance MO est la demi-somme de MA et dette.
2. ACB étant un angle, CO sa bissectrice et CM une droite menée à volonté par le sommet C dans l'intérieur de cet angle, l'angle MCO est égal à la demi-différence des angles MCA, MCB. Si la droite CM est extérieure à Tangle ACB, l'angle MCO est la demi-somme des angles MCA, MCB.
3. Étant données quatre droites OA, OB, OC, OD, issues d'un môme point 0, si les angles DOA, BOC sont égaux entre eux, ainsi que les angles AOB, COD, les côtés OA et OC sont en ligne droite, ainsi que les côtés OB et OD.
§ II. — Des triangles.
•4. Le périmètre d'un triangle est plus grand que la somme des droites qui joignent un point intérieur quelconque aux trois sommets, et hioindre que le double de cette somme. Considérer le cas où le point qu'on joint aux trois sommets est extérieur au triangle.
*o. Une médiane quelconque d'un triangle, c'est-à-dire la ligne qui joinjt un sommet au milieu du côté opposé, est moindre que la demi-somme
f*) Ces Exercices ont été choisis de manière que ceux qui se rapportent à un paragraphe déterminé puissent toujours être résolus à l'aide des seuls principes démontrés dans ce paragraphe ou dans les paragraphes précédents.
46 GÉOllÉTRIB PLANE.
des deux côtés issus du même sommet, et plus grande que la moitié de Texcès de cette somme sur le troisième côté.
*6. Le périmètre d'un triangle est plus grand que la somme de ses trois médianes et moindre que le double do cette somme.
7. ABC étant un triangle quelconque, on prend sur AB, prolongé s'il le faut, une longueur AC égale à AC; on prend de même sur AC une longueur AB' égale à AB; on tire B'C'qui coupe BC en I : démontrer que la droite AI est la bissectrice de l'angle BAC
8. I étant le milieu de la base BC d'un triangle isocèle ABC et M un point pris à volonté sur le côté AC, démontrer que la différence des longueurs fB et IM est moindre que celle des longueurs AB et AM. *
§ m. — Des perpendiculaires et des obliques,
9. Les distances des extrémités de la base d'un triangle isocèle aux côtés opposés sont égales entre elles.'
10. Oo dit que deux points A et A' sont symétruiues par rapport à une droite indéfinie XY, lorsque cette droite XY est perpendiculaire sur le milieu de AA'. Démontrer, d'après cette défmition : i^ que si A' et B' sont les symétriques par rapport à XY de deux points quelconques A et B, les deux droites symétriques AB et A'B' sont égales entre elles; a° que l'angle CAB de deux droites AB et AC est égal à l'angle C'A'B' de leurs symétriques A'B' et A'C.»
il. Par le sommet A d'un triangle ABC, on mène la droite indéfinie XY perpendiculaire sur la bissectrice de l'angle A. Démontrer que, si M est un point quelconque de XY, lo périmètre du triangle BMC est plus grand que celui du triangle primitif ABC. '
§ IV. — Des parallèles.
Ml, Un triangle quelconque est le quart de celui qu'on obtient en menant par chacun de ses sommets une parallèle au côté opposé. Chaque côté du nouveau triangle est le double du côté correspondant du triangle primitif.
43. Si deux droites égales AB et CD, comprises entre deux parallèles AC et BD, se coupent en un point 0, on a AO — OC et OB = OD.
14. Si par le milieu D du côté AB d'un triangle ABC on mène une parallèle DE au côté BC, la droite DE passera par le milieu E de AC et sera égale à la moitié de BC. Réciproquement, la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et égale à sa moitié.
15. Trouver le lieu des milieux des portions de droites qui vont d'un point donné à une droite donnée.
16. Les bissectrices des trois angles d'un triangle concourent en un même point. La bissectrice de Tun des angles et celles des suppléments des deux autres angles concourent aussi en un même point.
i7. Les perpMidiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle concourent en un même point.
48. Les trois hauteurs d'un triangle (c'est-à-dire les perpendiculaires abaissées des sommets sur les côt^ opposés) concourent en un môme point.
49. Les trois médianes d'un triangle concourent en un même point, situé au tiers de chacune d'elles à partir du côté correspondant. — A un plus grand côté correspond une plus petite médiane.
20. Dans un triangle, le point de concours des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés, le point de concours des trois médianes et celui des trois hauteurs, sont en ligne droite, et la distance du premier point au second est moitié de la distance du second point au troisième. «
24. Si, par le point d'intersection I des bissectrices des angles B et C d'un triangle ABC, on mène entre les côtés de l'angle A la parallèle DIE à BC, la droite DE sera égale à la somme de BD et de CE. Si, par le point d'intersection V de la bissectrice de l'angle B et de celle du supplément de l'angle C , on mène entre les côtés de l'angle A ou de son opposé par le sommet la parallèle DTE' à BC, la droite DE' sera égale à la différence de BD' et de CE'.
22. Des extrémités A et B et du milieu C d'une droiteAB, on mène des perpendiculaires AA', BB', CC, sur une droite indéfinie XY. Démontrer que le point C est le milieu de A'B', et que la perpendiculaire CC est égale à la demi-somme ou à la demi-diflférence des perpendiculaires AA' et BB', suivant que les points A et B sont situés d'un même côté ou de part et d'autre de XY.
23. La somme des distances d'un point quelconque de la base d'un triangle isocèle aux deux autres côtés est constante. Qu'arrive-t-il lorsque le point considéré est pris sur le prolongement de la base?
24. Trouver le lieu géométrique des points dont la somme ou la différence des distances à deux droites fixes est constamment égale à une
longueur donnée.
25. La somme des distances d'un point pris à l'intérieur d'un triangle équilaléral à ses trois côtés est constante. Qu'arrive-t-il lorsque le point considéré est extérieur au triangle?
26. AX étant une droite quelconque menée par le sommet A d'un triangle ABC, et BE, CF, étant les perpendiculaires abaissées des points B
et C sur celle droite AX, démontrer que le milieu D de BC est à égale dislance des points E et F.
27. Démontrer : i° que si deux angles ont leurs côtés respectivement parallèles, leurs bissectrices sont parallèles ou perpendiculaires entre elles; a** que si deux angles ont leurs côtés respectivement perpendiculaires, leurs bissectrices sont perpendiculaires ou parallèles entre elles.
§ V. — Somme des angles d^un jjolygone,
28. Étant donnés un triangle ABC et un point 0 pris dans son intérieur, démontrer que l'angle BOC est toujours plus grand que l'angle BAC du triangle.
29. Un angle d'un triangle est droit, aigu ou obtus, suivant que la médiane issue du sommet de cet angle est égale, supérieure ou inférieure à la moitié du côté opposé. Réciproques.
.3(i hl> et BC étant deux parallèles coupées obliquement par AB et perpendiculairement par AC, on mène entre ces deux parallèles la droite BED qui coupe AC en E, de manière que ED = aAB : démontrer que l'angle DBC est le tiers de l'angle ABC.
34. Si, d'un point A pris hors d'une droite XY, on mène sur celle droite la perpendiculaire AB et les obliques AC, AD, AE, de manière que ces obliques soient situées d'un môme côté de AB et que les angles BAC, CAD, DAE, soient égaux , on a BC < CD < DE.
32. Soient un. triangle ABC, et AO, BO, CO, les bissectrices de ses angles; BO prolongée coupant le côté AC en D, et 01 étant la perpendiculaire menée du point 0 sur AC, démontrer que l'angle COD est égal à l'angle AOL
33. L'angle form^ par la bissectrice de Tangle A d'un triangle ABC et par la perpendiculaire menée du sommet A sur le côté BC, est égal à la demi-ditférence des angles B et C.
3i. Si l'on mène les bissectrices des angles extérieurs d'un triangle ABC, les trois triangles partiels et le triangle total qu'elles déterminent autour du triangle donné sont équiangles. Chaque angle du triangle ABC a pour supplément le double de l'angle qui lui est opposé dans le triangle total.
33. Dans un triangle ABC, on prend sur le côté AB et sur son prolongement AD = AE = AC, puis on joint le sommet C aux poinls D et E. Démontrer que l'angle E est la moitié de l'angle A du triangle ABC, et que l'angle DCE estdroil.
36. Dans un triangle ABC on mène, jusqu'au côté BC, une droite AD faisant avec le côté AB un angle égal à l'angle C et une droite AE faisant
avec le côté AC un angle égal à l'angle B. Démontrer que le triangle DÂE est isocèle.
37. Dans un triangle rectangle, si Tun des angles aigus est double de l'autre, rhypoténuse est double du plus petit côté. Réciproque.
38. Dans un triangle quelconque ABC où TangleB est double de Tangle C, on mène AD perpendiculaire sur le côlé BC; sur AB, prolongé ou non suivant que Tangle B est aigu ou obtus, on prend BE égale à BD, puis on tire la droite EDF qui coupe AC au point F. Démontrer : i° que les longueurs FD, FC, FA, sont égales et que les triangles ABC, AFE, sont équiangles; %^ que le côté ^B est égal à la différence des segments DC et DB de la base fiC si l'angle B est aigu, à leur somme si Tangle B est obtus.
39. L'angle des bissectrices de deux angles consécutifs d'un quadrilatère convexe est égal à la demi-somme des deux autres angles du quadrilatère. L'angle des bissectrices de deux angles opposés est égal à la demidifférence des deux autres angles.
§ VI. — Du parallélogramme.
40. Deux quadrilatères convexes sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal, et leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et disposés de la même manière. Énoncer le théorème correspondant pour le cas de deux parallélogrammes, de deux rectangles, de deux losanges, de deux carrés.
41. Deux trapèzes sont égaux lorsqu'ils ont leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et disposés de la même manière.
42. Toute droite comprise entre deux côtés opposés d'un parallélogramme et passant par le point d'intersection de ses diagonales ( ou par le centre de ce parallélogramme) : i** est divisée par ce peint en deux parties égales; indivise le parallélogramme en deux quadrilatères égaux.
43. Tout quadrilatère est la moitié du parallélogramme que l'on obtient en menant par les extrémités de chaque diagonale des parallèles à l'autre diagonale. Déduire de ce théorème que deux quadrilatères ont même surface lorsque leurs diagonales sont respectivement égales et ^e coupent sous le même angle.
44. Les droites qui joignent successivement les milieux des côtés d'un quadrilatère forment un parallélogramme.
45. En divisant arbitrairement, mais de la même manière, les côtes d'un carré, et en joignant successivement les points de division, on forme un nouveau carré inscrit dans le premier.
46. Étant donné un parallélogramme ÂBCD, on prend en sens inverse, sur les côtés opposés AB, CD, deux longueurs AE et CF, arbitraires, mais
5o GÉOMÉTRIE PLANS,
égales; de même, sur les côtés opposés AD, BC, on prend en sens inverse les longueurs arbitraires AH = CG. Démontrer : i"* que la figure EGFH est un parallélogramme inscrit dans le parallélogramme proposé ; a** que le centre du parallélogramme proposé est en même temps celui de tous les parallélogrammes qu'on peut y inscrire.
47. Le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés opposés d'un quadrilatère quelconque, est le milieu de la droite qui unit les milieux des diagonales de ce quadrilatère.
48. Les bissectrices des angles d'un quadrilatère convexe forment un second quadrilatère dont les angles opposés sont supplémentaires. Lorsque le premier quadrilatère est un parallélogramme, le second est un rectangle dont les diagonales sont parallèles aux côtés du parallélogramme et égales à la différence de ses côtés adjacents. Lorsque le premier quadrilatère est un rectangle, le second est un carré.
49. Si, par un point quelconque de la base d'un triangle isocèle, on mène dçs parallèles aux deux autres côtés, on forme un parallélogramme dont le périmètre est constant.
50. ABC étant un triangle rectangle et ABDM, ACEN, étant les carrés construits sur les côtés AB et AC de l'angle droit, des sommets D et E, opposés au sommet A, on abaisse des perpendiculaires DF, £G, sur Thypoténuse BC prolongée. Démontrer : i° que l'hypoténuse BC est égale à la somme des perpendiculaires DF et EG ; 2*" que le triangle proposé ABC est la somme des triangles DFB, CEG.
51. Démontrer que dans tout trapèze isocèle les angles opposés sont suppléfnentaires.
52. bans tout trapèze, les quatre points, milieux des deux côtés non parallèles et des deux diagonales, sont sur une même droite parallèle aux deux bases du trapèze; la distance des points extrêmes est égale à la demisomme de ces bases ; la distance des points intermédiaires est égale à leur demi différence.
53. Sur un billard rectangulaire, dans quelle direction faut-il lancer la bille pour qu'elle revienne au point de départ après avoir frappé successivement les quatre côtés? Quelle est la longueur du chemin parcouru alors par la bille? (On admet que lorsque la bille frappe une bande, les deux droites qu'elle suit, avant et après le choc, sont également inclinées sur la bande.).
54. ABCD étant un parallélogramme, E et F étant les milieux des côtés opposés AB et CD, les droites BF et DE divisent la diagonale AC en trois parties égales.
55. Par le sommet A dun parallélogramme ABCD, on mène une droite
quelconque ÂX. Prouver que la distaDce du sommet G à la droite AX est égale à la somme ou à la différence des distances des sommets B et D à la même droite, suivant que ÂX est extérieure au parallélogramme ou le traverse.
56. D, E, F, étant res{)ectivement les milieux des côtés ÂB, BC, CA, d'un triangle ABC, on mène DG parallèle à la médiane BF jusqu'à la rencontre de EF prolongée. Démontrer que les trois côtés du triangle DGC sont respectivement égaux aux trois médianes du triangle ABC.
57. Un triangle élanl décomposé en un trapèze et en un triangle par une parallèle à l'un de ses côtés, si cet le parallèle passe par les milieux des autres côtés du triangle, le trapèze formé équivaut à trois fois le triangle complémentaire.
52 GÉOSIÉTRIB PLANE.
