I. - CYLINDRE DE RÉVOLUTION

DÉFINITIONS

722. On nomme surface cylindrique de révolution la surface engendrée par une droite GG' qui tourne autour d'une droite fixe XX' à laquelle elle est parallèle et invariablement liée (j«^. 384).

La droite fixe XX' reçoit le nom 6.*axe de la surface, et la droite mobile GG' celui de génératrice ou d'arête.

723. Tout point A de la droite GG' décrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à Taxe et dont le centre est sur Taxe ; car, pendant la rolation, la perpendiculaire AO abaissée du point A sur XX' reste perpendiculaire à cet axe ei conserve toujours la même longueur.

Fîg. 38',.

On appelle section droite toute section faite par un plan perpendiculoirc à l'axe. Il résulte des considérations précédentes que les diverses sections droites d*une même surface cylindrique sont des circonférences égales : le rayon commun de ces cercles, c'est-à-dire la distance des deux parallèles XX' el GG', est le rayon de la surface cylindrique, et l'on voit que le lieu des points de l'espace situés à une distance donnée

LIVRB VII. — LBS CORPS RONDS. tS'J .

d'une droite fixe est la surface cylindrique de révolution qui a cette droite pour axe et la distance donnée pour rayon,

724. Considérons une droite fixe XX', un plan P parallèle à cette droite, et désignons par R la dislance de la droite au plan, ou, ce qui revient au même, la distance de la droite à sa projection AA' sur le plan (Jig. 385). Le lieu des points du plan P, situé à une dislance donnée d de la droite XX', se compose de deux droiles BB' et CC parallèles à XX', placées de part et d'autre de AA', et à une distance de cette droite égale au côlé AB de Tangle droit d'un triangle rectangle OAB, dont l'hypoténuse OB est égale à ô, et l'autre côlé OA de l'angle droit égal à R. il en est ainsi tant que d est plus grand que R; lorsque d devient égal ou inférieure R, le lieu se réduit à la droite AA' ou cesse d'exister.

D'après cela (723), un plan parallèle à l'axe d'une Slirface cylindrique de révolution renferme deux génératrices de cette surface, ou une seule, ou n'a aucun point commun avec la surface, suivant que la distance du plan à l'axe est inférieure, égale ou supérieure au rayon de la surface.

Fig. 38.3.

725. Arrêtons-nous un moment sur le cas oii le plan et la surface n'ont en commun qu'une génératrice AC {Jii(. 386).

Un tel plan peut être considéré comme la position limite d'un plan variable qui, passant par la génératrice fixe AC et par une génératrice voisine A'C, tourne autour de AC jusqu'à ce que A'C vienne, en restant sur la surface cylindrique, se confondre avec AC. Cela étant, soit BB' une courbe quelconque tracée sur la surface cylindrique; la sécante BB', qui unit les points fi et B' où la courbe rencontre [es génératrices

l38. GfiOMÉTRrE DANS l' ESPACE.

AG ei A'C, reste conslamment dans le plan variable ACA'C; d'ailleurs celle sécanie devient la langenle BN à la courbe BB', lorsque la génératrice mobile A'C vient se confondre avec AC, c'est-à-dire lorsque le plan variable ACA'C alteinl sa position limite; donc ce plan limite contient la tangente BN. Ainsi, le pjan limite considéré renferme les tangentes à toutes les courbes que Ton peut tracer sur la surface, aux points oii ces courbes rencontrent la génératrice AC; on lui donne le nom de plan tangent suivant la génératrice AC.

La génératrice AC, et la tangente à une courbe quelconque tracée sur la surface au point où cette courbe rencontre AC, suffisent pour déterminer le plan tangent suivant celte génératrice. Si l'on choisit en particulier la tangente AM à la section droite AA', on voit que le plan tangent est perpendiculaire au plan déterminé par l'axe et par la génératrice de contact ; en effet, le plan tangent renferme la droite AM qui, étant à angle droit sur AO et sur AC, est perpendiculaire à leur plan CAOX.

726. On appelle cylindre de révolution le corps compris entre une surface cylindrique et deux plans perpendiculaires à l'axe de cette surface, ou, en d'autres termes, la figure engendrée parla rotation d'un rectangle AA'0'0 autour d'un de ses côtés 00' (/g-. 387).

La surface cylindrique engendrée par le côté AA' est la surface latérale A\i cylindre; les cercles décrits par les côlés OA et O'A' en sont les bases, et la droite 00' en est la hauteur.

Fie. 387. Fi|î. 388.

727. En construisant un prisme droit, de même hauteur que le cylindre, et ayant pour base un polygone inscrit ou circonscrit au cercle de base du cylindre, on obtient un prisme in-

LIVEE VII. — LB8 CORPS RONDS. iSq.

scrit OU circonscrit au cylindre {Jiff, 388). Le plan de chaque face latérale du prisme circonscrit est tangent au cylindre (725). Si le polygone inscrit ou circonscrit au cercle de base est régulier, le prisme inscrit ou circonscrit au cylindre est régulier (593).

Considérons un cylindre de révolution. et un prisme régulier inscrit. L'aire latérale du prisme s obtient en multipliant le périmètre de sa base par sa hauteur (609). Or, quand on fait croître indéfiniment le nombre des côtés du polygone de base, le périmètre de ce polygone tend vers une limite fixe et indépendante de la loi suivant laquelle ses côtés tendent vers zéro (290); d'ailleurs, la hauteur du prisme reste constamment égale à la hauteur du cylindre. Donc l'aire latérale du prisme inscrit tend vers une limite fixe indépendante de la loi suivant laquelle les côtés de sa base tendent vers zéro : c*est cette limite qiœ l'on appelle l'aire littérale du cylindre.

Considérons en second lieu un cylindre de révolution et deux prismes réguliers de bases semblables, l'un inscrit, l'autre circonscrit au cylindre [fi^, 388). Le volume du cylindre est compris entre les volumes des deux prismes. Or, ces deux prismes ont même hauteur, et le rapport des aires de leurs bases a pour limite l'unité (441), lorsque le nombre commun de leurs côtés croit indéfiniment; par suite, le rapport des volumes des deux prismes tend vers l'unité, et il en est de même à fortiori du rapport du volume du cylindre au volume de l'un quelconque de ces prismes. Donc le volume d^un cylindre de révolution est la limite commune des voltuues des prismes réguliers de bases semblables inscrit et circonscrit dont on fait croit re indéfiniment le nombre des faces.

Il importe de remarquer que ce dernier énoncé est un véritable théorème, tandis que l'énoncé de l'alinéa précédent relatif à l'aire n'est qu'une définition,

728. Deux cylindres de révolution sont dits semblables, lorsqu'ils sont engendrés par des rectangles semblables, c'està-dire lorsque leurs hauteurs sont entre elles comme les rayons de leurs bases.

THÉORÈME

729. L'aire latérale d'un cylindre de révolution a pour mesure le produit de la circonférence de sa base par sa hauteur.

L'aire latérale du cylindre est la limite des aires latérales des prismes réguliers inscrits dont le nombre des faces croît indéfiniment. D'après cela, soient S, C, H, Taire latérale, la circon-

l4o- GÉOMÉTRIE DANS l'eSPàGE.

férence de base et h hauteur du cylindre considéré; soient 5 et p Taire latérale et le périmètre de la base d'un prisme régulier inscrit. On a (609)

Lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la base du prisme, s tend vers S et p vers C; on a donc, à la limite,

S=iC.H.

COBOLLAIRBS.

730. Si R est le rayon du cylindre, on a C = 27rR et, par suite,

S = 27rRH.

En ajoutant à cette aire latérale les aires des deux bases ou le double sttR^ de l'aire de l'une d'elles, on obtient, pour l'aire totale T du cylindre,

T = îttRH -+. 27rR' = 27rR ( R H- H).

731. Soient S, S', les aires latérales; T, T', les aires totales; R, R', les rayons et H, H', les hauteurs de deux cylindres de révolution semblables. On aura (728)

et, par suite,