LIVRE YII. — LES CORPS RONDS. l5l

bases, le premier la base inférieure, le second la base supérieure, et le troisième la moyenne proportionnelle entre les deux bases du tronc.

Considérons, comme au n** 747, un tronc de pyramide régulier inscrit dans le tronc de cône. Les volumes des deux pyramides dont ce tronc de pyramide est la différence ayant respeclivemeni pour limites les volumes des deux cônes dont le tronc de cône proposé est la différence, on aura le volume de ce tronc de cône en prenant la limite du volume du tronc de pyramide. D'après cela, soient V, b, B, H, le volume, les bases et la hauteur du tronc de cône, v^, bi, B., le volume et les bases du tronc de pyramide inscrit; on aura (648)

t..=:5(B,-4-6,-f-v^BT.).

Mais, lorsque le nombre des faces du tronc de pyramide croît indéfiniment, f, tend vers V, ft, vers b, B, vers B; et l'on a, à la limite, la formule

dont l'énoncé ci-dessus n'est que la traduction en langage ordinaire.

Corollaires.

754. Si R est le rayon de la base inférieure B, et r le rayon de la base supérieure 6, on a B = ttRS 6 = ttt* et, par suite,

755. Le raisonnement qui précède s'applique au tronc de seconde espèce; il faut seulement substituer le mol somme au mot différence, et remarquer que le tronc de pyramide inscrit correspondant étant de seconde espèce, le radical qui figure dans l'expression de (^, doit avoir le signe — (650). On obtient ainsi pour le volume du tronc de cône de seconde espèce la -formule

V = S (BH-6-v/BÏ)=^(R'-f-/-*-R/).

]52. GÉOHtTBIB BANS L*E8PACB.

756. Parfois dans la pratique, notamment pour le cubage des troncs d'arbres non équafris, les bases diffèrent assez peu pour qu'on puisse assimiler sans inconvénient le cône tronqué à un cylindre ayant pour hauteur la hauteur du tronc et pour base la section faite dans le tronc à égale distance des deux bases* L'erreur commise est d'ailleurs facile à évaluer; en retranchant le volume cylindrique

(2) t'^TrHI 1 ,

du cône tronqué dont le volume est donné par la formule (1), on trouve

V — l'H(tl)-.

L'erreur commise est donc égale au volume d'un cône ayant pour hauteur la hauteur du tronc et pour rayon de sa base la demi-différence des rayons des bases du tronc.

Quand on veut appliquer la formule ( 2 )au cubage d'un tronc d'arbre» il convient de la préparer de la manière suivante : soit C la longueur de la circonférence moyenne que l'on évalue au moyen d un cordon métrique, le rayon de cette circonfé-

rence sera — et, par suite, le volume cherché 27r

Ainsi, supposons qu'on ait trouvé i",8o pour la circonférence moyenne et 6'",5o pour la hauteur, on aura pour le vo- , lume

757. La question âujaugeapredes tonneaux se rattache à la mesure du tronc de cône.

En considérant le tonneau {fig*^o\) comme la somme de deux troncs de cône identiques opposés par leur grande base, on aurait la formule

LIYRB VII. — LES CORPS RONDS. l53..

dans laquelle H est la hauteur totale du double tronc, r le rayon du fond AAS et R le rayon de la grande base BB' à laquelle

Fig. /joi.

vy*

on donne le nom de bouge. Mais cette formule donne un résultat trop faible, car on néglige deux fois le volume engendré par la rotation du segment AMB compris entre la droite AB et l'arc AMB. En remplaçant dans la parenthèse Rr par R% on obtient une formule

qui donne au contraire un résultat trop fort. La formule qui s'adapte le mieux à la forme générale des tonneaux est la suivante (*) :

V = i 71 H TaR» -^ r^ - i ( R» - r»)l .

Pour H = o'",756, R == o«,345, r= o^^jSoS, la première formule donne 25o litres, la seconde 261 et la troisième 254. EnHn, nous signalerons la formule

V = o,625.DS

qui permet de jauger les tonneaux ordinaires d'une manière très-rapide et suffisamment approchée, en mesurant seulement la diagonale BA' = 1) qui va du trou B ou bonde au point le plus bas A' de l'un des fonds. Les jauges diagonales sont surtout employées dans les octrois. £n calculant d'avance, à l'aide de la formule précédente, les valeurs de V qui répondent aux diverses valeurs de D et inscrivant ces valeurs sur la tige

(•) Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XLVIIf, p. 96.

l54. GÉOUÉTBIE DANS l' ESPACE.

de fer que Ton introduit dans ie tonneau, on obtient la capacité du fût par une simple lecture.

Pour comparer cette dernière formule avec la précédente, il suffit d'observer que Ton a dans le triangle rectangle BA'I,

BÂ^'^iÂ^' + BÏ* ou D'=iH»-^(R-^-^)?;

on trouverait ainsi 257 litres pour la contenance du tonneau déjà considéré.