Toute section plane de la sphère est un cercle
En efTet, les points de la section sont, puisqu'ils appartiennent à la sphère, situés à la même distance du centre de cette sphère; or, on sait (92, 527) que le lieu des points d*un plan équidistants d'un point fixe est une circonférence de cercle.
COROLLAIBES.
763. Si le point fixe 0, qui est ici le centre de la sphère ijig, 4^4 )> 6st situé dans le plan sécant, ce point est le centre même de la section ACB dont le rayon ne diffère pas de celui de la sphère.
Si le point fixe 0 est extérieur au plan sécant, le centre I de la section DEF est la projection du centre 0 de la sphère sur le plan sécant (527). Quant au rayon OE = r de la section, c'est le côté de Tangle droit d'un triangle rectangle OIE dont l'hypoténuse OE est Iç rayon R de la sphère et dont l'autre côté de l'angle droit 01 est la distance d du centre de la sphère au plan sécant. Ce rayon r résulte donc de la formule
On est ainsi conduit à diviser les sections planes de la sphère en deux classes : les grands cercles, dont les plans passent par le centre de la sphère et qui sont tous égaux entre eux, puisqu'ils ont tous pour rayon le rayon de la sphère; et les petits cercles, dont les plans ne contiennent pas le centre de la sphère, et dont les rayons, inférieurs à celui de la sphère, décroissent à mesure que leurs plans s'éloignent du centre de la sphère. Deux petits cercles également éloignés du centre de la sphère sont égaux, et, de deux petits cercles inégalement éloignés du centre de la sphère, le plus grand est celui qui est le plus voisin de ce centre.
LIVRB Vir. LES C0HP8 RONDS. iS;.
Ajoutons qu'il faut trois points de la surface sphérique pour déterminer un petit cercle (116, 482), tandis que deux points suffisent pour détertiiiner un grand cercle, attendu que le centre est connu (Wl); toutefois, dans ce dernier cas, les deux points donnés ne doivent pas être en ligne droite avec le centre de la sphère, sans quoi le plan du grand cercle, assujetti seulement à passer par un diamètre, pourrait occuper une infinité de positions (481).
Fig. i{o[\.
764. Tout grand cercle divise la surface sphérique et la sphère en deux parties égales. Car si, après avoir séparé les deux parties, bn les applique sur la base commune en tournant leur convexité dans le même sens, les deux surfaces coïncideront, sans quoi tous les points de la surface sphérique ne seraient pas à la même distance du centre.
765. Deux grands cercles APBP', ABC {Jig, 4o5), se divisent mutuellement en deux parties égales; car le centre 0 de la sphère, appartenant à la fois aux plans de ces deux cercles, est situé sur leur intersection commune, qui dès lors est un diamètre.
766. Une droite ne peut couper la surface sphérique en plus de deux points. Car cette droite ne saurait avoir plus de deux points communs avec la circonférence de grand cercle, située dans le plan déterminé par cette droite et le centre de la sphère. .
767. La sphère est de révolution autour d'un diamètre quelconque AB. Car la circonférence ACB déterminée par un plan quelconque passant par AB, ayant même centre 0 et même rayon OA que la sphère, engendrera évidemment celte surface en tournant autour de AB {fg,^o5).
l58. GÉOMÉTRIE BANS L* ESPACE.
768. On nomme pôles d'un cercle de la sphère les extrémités du diamètre de la sphère qui est perpendiculaire au plan du cercle.
Deux cercles DFE, ACB {Jig. 4o6), dont les plans sont parallèles, ont les mêmes pôles P et P'.
Le centre I d'un cercle quelconque DE, ses pôles P et P', et le centre 0 de la sphère sont sur une même perpendiculaire au plan de ce cercle.
Tout grand cercle PFCP' passant par les pôles P et P' d'un cercle DFE a son plan perpendiculaire au plan de ce cercle, puisqu'il contient la droite PP' qui est perpendiculaire à- ce dernier plan.
THÉORÈME
769. Tous les points de la circonférence d'un cercle DFE de la sphère sont à égale distance de chacun des pôles P et P' de ce cercle.
Fig. 406.
En effet, la droite PI, qui joint le pôle P au centre I du cercle DFE, étant perpendiculaire au plan DFE, les droites PD, PF, P£,..., sont des obliques qui s'écartent également du pied 1 de la perpendiculaire et qui, par suite, sont égales.
On voit encore que les arcs de grand cercle PD, PF, PE,..., sont égaux comme sous-tendus par des cordes égales.
EnPm, dans le cas où le cercle considéré DFE devient un grand cercle ACB, la même propriété subsiste; mais les angles droits POA, PQC, POB,..., ayant leurs sommets au centre des grands cercles PAP', PCP', PBP',. . ., les arcs PA, PC, PD,..., sont tous égaux au quart d'une circonférence de grand cercle.
SCOLIE
770. Des deux pôles P et P' d'un petit cercle DFE, nous ne considérerons désormais, à moins d'avertissement contraire.
LITRE YII. — LES CORPS RONDS. l59.
que le pôle P qui est le plus rapproché du plan de ce cercle. Nous donnerons à la dislance rectiligne PD, qui sépare le pôle P d'un point quelconque D du cercle DFE, le nom de distance polaire de ce cercle, et à la longueur de Tare de grand cercle VD, qui va du pôle à un point quelconque D du cercle DFE, le nom de rayon sphérique de ce cercle.
Le rayon sphérique d'un grand cercle est égal au quart de la circonférence de ce cercle ou à un quadrant, et sa dislance polaire est égale à la corde de cet arc, c'est-à-dire au côté du carré inscrit dans un grand cercle.
771. Le théorème précédent permet de tracer des circonférences sur une sphère solide comme on les irace sur un plan. On emploie à cet effet un compas à branches courbes, afin de ne pas être gêné par la convexité de la sphère. On donne au compas une ouverture (distance des deux pointes) égale à la distance polaire voulue, et Ton place la pointe sèche au point choisi pour pôle ; l'autre pointe décrit alors le cercle demandé.
Pour décrire un grand cercle, il faut avoir sa distance polaire, c'est-à-dire la corde d'un arc égal au quart d'un grand cercle; ce qui exige la connaissance du rayon de la sphère.
772. L'angle APB de deux arcs de grand cercle PAP', PBP', a pour mesure, soit l'arc de grand cercle AB décrit de son som-met P comme pôle et compris entre ses côtés, soit le plus petit arc de grand cercle ppx qui unit les pôles de ses côtés
En effet :
1° Les arcs PA, PB, étant des quadrants, les angles POA, POB, sont droits, et l'angle AOB est l'angle plan qui mesure l'angle dièdre formé par les plans des deux grands cercles. Mais (761) cet angle dièdre est égal à l'angle APB des deux arcs de grands cercles, et l'angle au centre AOB a pour mesure l'arc AB ; donc l'arc AB est aussi la mesure de l'angle APB.
2® Prenons sur la circonférence ABC, à partir des points A et B, dans le même sens, deux arcs kp et B/?i, égaux à un quadrant; l'arc ppx est évidemment égal à Tare AB, et, pour
l6o. GÉOMÉTRIE DANS L'eSPAGB.
justifier le second éDoncé du théorème, il suflit de prouver que p et Pi sont les pôles des cercles PAP', PBP'. Or, la droite Op, perpendiculaire à OA, puisque Tare Ap est un quadrant,
Fig. 407.
et perpendiculaire à OP, puisqu'elle est dans le plan ABC, est perpendiculaire au plan du grand cercle PAP'; p est donc le pôle de ce grand cercle. De même, /?, est le pôle du grand cercle PBF.
Nous avons dit que nous portions les arcs Xp et B/?, dans le même sens, à partir de leurs origines respectives A et B; si on les 'portait l'un dans un sens et Tautre en sens contraire, lare ppi serais le supplément de Tangle des deux grands cercles. Il y a donc une précaution à prendre dans l'application du second énoncé. Il faut considérer, pour l'un des grands cercles PAP', le pôle p qui est du même côté que le demicercle PBP'- et, pour l'autre grand cercle PBP', le pôle /?, qui n'est pas du même côté que le demi-cercle PAP'.
Corollaires.
773. Le lieu géométrique des pôles des grands cercles inclinés d'un angle donné sur un grand cercle donné, se compose de deux cercles dont les pôles se confondent avec ceux du grand cercle donné. Le rayon sphérique de ces cercles est égal à l'arc de grand cercle qui mesure l'angle donné.
774. Pour que deux grands cercles se coupent à angle droit, il faut et il suffit que chacun d'eux renferme le pôle de l'autre.
775. Deux grands cercles APC, BPD (Jig. 407), forment en se coupant au point P quatre angles APB, BPC, CPD, DPA ; les angles adjacents APB, BPC, sont supplémentaires, les angles opposés par le sommet APB, CPD, sont égaux.
LIVRB Vil. — LES CORPS BONDS. ibl ,
THÉORÈME
776. Tout plan AB perpendiculaire à l * extrémité d 'un rayon OC est tangent à la sphère, et réciproquement tout plan AB Cangent à la sphère est perpendiculaire à l'extrémité du rayon OC mené au point de contact C (Jig» 4^8 J.
Fig. 4o8.
On dit qu'un plan AB est tangent à la sphère lorsqu'il n'a avec cette surface qu'un point commun C, qu'on nomme point de contact, '
Cela posé, soit AB un plan perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon OC. D étant un point quelconque de ce plarT, autre que C, OD sera oblique à ce plan «et l'on aura OD>OC, de sorte que le point D sera extérieur à la sphère. Le plan AB n'ayant d'après cela que le point C commun avec la surface sphérique, sera tangent à cette surface.
Inversement, si AB est un plan VàXiçeiW. à la sphère au point C, tout point I) de ce plan, autre que C, sera extérieur à la sphère, et l'on aura OD>OC; donc OC étant la plus courte distance du centre 0 au plan AB, sera perpendiculaire sur ce plan.
Corollaires.
777. Par un point pris sur la surface sphérique, on peut toujours mener un plan tangent à cette surface, et ion ne peut en mener qu'un ( 5511 ).
778. Le plan tangent à la sphère en un point C contient les tangentes en ce point à toutes les courbes qu'on peut tracer par ce point sur la surface sphérique (760, 523J.
779. Considérons une sphère 0 et un point extérieur S [Jîg^ 4<>9)' Par la droite OS, menons un plan quelconque qui déterminera dans la sphère un grand cercle PAF, et menons
l62. GÉOMÉTBIB DANS l'eSPACB.
par S une tangente SA à ce cercle. Pendant que le demicercle PAP' en tournant autour de Taxe SO engendre la sphère, la tangente SA engendre un cône de révolution qui a en commun avec la sphère le cercle AB décrit par le point A, De plus, en tout point M de ce cercle, le cône et la sphère ont le
Fig. 409.
même plan tangent; caria génératrice SM et la tangente MT au cercle AB, qui déterminent le plan tangent au cône (738;, sont situées Tune et l'autre (778} dans le plan tangent a la sphère. On dit d'après cela que le cône est circonscrit à la sphère et que la sphère est inscrite au cône le long du cercle commun AB.
Il suit encore de là que par un point extérieur S, on peut mener une infinité de plans tangents à une sphère 0, ei que toutes les tangentes SA, SM, SB,..., à la sphère, issues du même point S, sont égales.
Si le point S s*éloigne indéfiniment sur la droite PP^ le cône dégénère en un cylindre circonscrit, et le lieu des points de contact de la sphère et de ce cylindre de révolution, devient le grand cercle perpendiculaire à la direction PF des génératrices du cylindre.
THÉORÈME
780. L'intersection de deux sphères A et B est une circonférence de cercle dont le pian est perpendiculaire à la ligne des centres AB des deux sphères et dont le centre est sur cette ligne ifig.iio).
Car, cette intersection n'est autre que la circonférence engendrée par la rotation autour de AB du point C commun
