LIVRE VII. — LES CORPS BONDS. l

aux deux circonférences suivant lesquelles les deux chères sont coupées par un plan quelconque passant par AB.

Fig. 4 10.

' SCOLIE

781. Lorsque deux sphères n'ont qu'un point commun, on dit qu'elles sont tangentes en ce point qu'on nomme point de contact; le point de contact est situé sur la ligne des centres» et en ce point les sphères ont le même plan tangent.

Les positions relatives de deux sphères sont au nombre de cinq (120); D désignant la distance des centres et R et r les rayons, on a :

D>R-hr,

si les deux sphères sont extérieures;

J) = R-|-r, si les deux sphères se touchent extérieurement;

R-f-r>D>R— r, si les deux sphères se coupent;

D = R-r, si les deux sphères se touchent intérieurement;

si l'une des sphères est intérieure à l'autre. Les réciproques sont vraies.

THÉORÈME

782. Par quatre points A, B, C, D, non situés dans un même plan, on peut faire passer une surface sp/iérique, mais une seule {fg/^ii).

Il s'agit de prouver qu'il existe un point, et un seul, situé à la même distance des quatre points A, B, C, D.

l64. GÉOMÉTRIE DANS l' ESPACE.

Or, toul point équidislani de A, B, C, 1), doit se trouver sur la perpendiculaire FH élevée au plan ABC par le centre F du cercle circonscrit au triangle ABC, puisque celte perpendiculaire est le lieu des points équidîslants de A, B, C, (527); il doit aussi appartenir à la perpendiculaire EG élevée au plan AGI) par le centre E du cercle circonscrit au triangle ACD. Comme deux droites Fil, EG, ne peuvent avoir qu'un point commun, on voit d'abord qu'il ne saurait jamais exister qu'un seul point équidistant de A, B, C, D. En second lieu, un tel point existe

Fiç. /|ii.

toujours si, conformément à l'hypothèse, les points A, B, C, D, ne sont pas situés dans un môme plan. En effet, le plan perpendiculaire sur le milieu K de AC étant le lieu des points équidistants de A et de C, doit contenir EG et FH; d'ailleurs, les deux droites KF et KE, suivant lesquelles il rencontre les plans ABC et ADC, se coupent, puisque les plans ABC et ADC sont distincts; donc les deux droites EG et FH, étant situées dans un même plan EKF, et étant, dans ce plan, perpendiculaires à deux droites KF et KE qui se coupent, ont un point commun 0 qui est le centre de la sphère demandée.

Corollaires.

783. Deux sphères, qui ont quatre points communs non situés dans un même plan, coïncident.

784. Les perpendiculaires élevées aux quatre faces d'un tétraèdre par le centre du cercle circonscrit à chacune de ces faces, se coupent en un même point.

PROBLÈME