livre yil. — les corps ronds

Corollaire.

792. Considérons un arc de cercle AD et une ligne brisée régulrèrc inscrite ABCD; tandis que l'arc AD tourne autour du dianîètre xny^ la ligne brisée engendre une aire qui tend vers une limite indépendante de la loi suivant laquelle ses côtés tendent vers zéro. En etîet, dans le produit A'D'. cire. 01 qui mesure celle aire, le premier facteur A'D' est invariable et le second cire. 01 a toujours pour limite cire. OA. Cest celle limite de Taire engendrée par la ligne brisée régulière inscrite qu'on appelle aire de la zone décrite par l'arc AD.

793. On voit sans peine que la ligne brisée A,B,C, D, circonscrite au même arc et semblable à la ligne inscrite ABCD, engendre une aire qui tend vers la même limite. En effet; on a

aireA.B.C.D, A^, D'. .circ.OA aire ABCD ~ A'D'. cire. 01 *

cire OA 04 Or, le rapport . ' ^, = -7^ tend vers l'unité lorsque le nombre des ^^ cire. 01 01 ^

côtés de la ligne brisée ABCD croît indéfiniment, et il en est de même

du rapport -^rrè ^^h ^J^ verlu de la similitude des polygones A'ABCDD',

A'.A.B.C.D.D',, est aussi égal à -^^

THÉORÈME

794. L'aire d'une zone sphérique a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence d*un grand cercle.

Par définilion, l'aire de la zone est la limite vers laquelle lend Taire engendrée par une ligne brisée régulière inscrite dans l'arc générateur de la zone, lorsque le nombre des côtés de celle ligne brisée croU indéfiniment. D'après cela, soient S Taire de la zone, H sa hauteur, et R le rayon de Tare générateur, c'est-à-dire le rayon de la sphère à laquelle la zone appartient; soient de môme s Taire engendrée par une ligne brisée régulière inscrite dans l'arc générateur, et a l'apothème de cette ligne brisée. On a (791), puisque la projection de la ligne brisée sur Taxe est aussi égale à H,

Mais, lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés

de la ligne brisée, H resle invariable, s tend vers S, et a vers R. On a donc, à la limite,

Corollaires.

795. Dans des sphères égales, deux zones sont entre elles comme leurs hauteurs et, par suite, deux zones de même hauteur sont équivalentes.

796. Considérons la calotte sphérîque engendrée par Tare AB tournant autour du diamètre AD {Jig, 4^o). En vertu du théo-

Fîg. 4 20.

çème précédent, Taire de cette calotte a pour mesure