LIVRE VII. — LES CORPS RONDS
gle eslla somme ou la différence des cônes engendrés par les triangles rectangles ACD, BCD.
En même temps, le cylindre engendre par la rotation du rectangle ABB'A', quia même base ei même hauteur que le triangle donné ABC, est la somme {Jif^, ^11) ou la différence (yig^. 4^3) des cylindres engendrés par la rotation des rectangles ADCA',BDCB', dont le recungle ABB'A' est lui-même la somme ou la différence. D'ailleurs, le cône ACD est le tiers du cylindre ADCA', el le cône BCO, le tiers du cylindre BDCB' (752). Donc, dans Tun et l'autre cas, le volume engendré par le triangle ABC est le tiers du cylindre ABB'A', et l'on a
vol.ABCziri^rCD' .AB=:~7rCD.BC.AE.
En effet, CD.AB=:BC.AE, ces produits représenianl tous deux le double de Taire du triangle donné. Or, tt.CD.BC exprime (744) Taire latérale du cône BCD ou Taire de la surface engendrée par le côté BC d^ns la rotation du triangle ABC. Par suite,
vol.ABCr^aîrcBC-^.
2*» Supposons {fig,^i^) que le côté AB du lrianj;lc n'ayant plus que le sommet A sur Taxe x/, le coté BC prolongé vienne rencontrer Taxe au point D.
Le triangle ABC étant la différence des triangles ACD, ABD, le volume qu'il engendre est la différence des volumes engendrés par ces triangles. On aura donc (i**)
Al? AK
vol. ABC = ( aire DC- aire DB) -y- := aire BC.-^ .
3» Supposons enfin que le côté AB du triangle n'ayant plus que le sommet A sur Taxe xjr^ le côté BC soit parallèle à cet axe.
174* GfiOMÊTRlB DANS L* ESPACE.
Le volume engendré par le triangle ÂBC, est la somme (^g^. 425) ou la différence {Jig. 4^6) des volumes engendrés
Fig. 425. Fîg. 426.
par les triangles ABE, ACE. Or, le volume engendré par le triangle ABE est les deux tiers du cylindre engendré par le reclangle AB'BE, et le volume engendré par le triangle ACE, les deux tiers du cylindre engendré par leYectangle AC'CE(752;. Donc, dans l'un et Tautre cas, le volume engendré par le triangle ABC est les deux tiers du cylindre engendré par le reclangle B'C'CB, somme {Jig.^7.5) ou différence (^ïg^. 4^6) des rectangles AB'BE, AC'CE; et Ton a encore
vol.ABC=|7rÂÊ\B6=:aireBC.^.
27r.AE.BC exprime en effet Taire latérale du cylindre engendré par le rectangle B'C'CB ou Taire de la surface décrite par le côté BC de ce rectangle.
THÉORÈME
804. Le volume engendré par un secteur polygonal régulier tournant autour d'un diamètre extérieur à sa surface, a pour mesure le produit de l'aire que décrit la ligne brisée qui lui sert de base, par le tiers de l'apothème de cette ligne brisée.
Soit {Jig- 427) le secteur polygonal régulier (433) OABCD, tournant autour du diamètre xy. décomposons ce secteur en triangles, en joignant au centre 0 les sommets de sa base ABCD, et appelons a Tapothème de cette base. Le volume
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engendré par le secteur sera la sonome des volumes engendrés par les triangles qui le constiluent. Or (803)
vol . AOB = aire AB • ^ î
vol-.BOC^aireBC-
vol.COD = aireCD En ajoutant ces égalités membre à membre» il vient
ou
vol . OABCD = ( aire AB -+- aire BC -+- aire CD ). ^
vol.OABCD = aireABCD-|.
SCOLIB.
805. Soient (y^. 4^7) AOD un secteur circulaire et OABCD, OA'B'C'D', deux secteurs polygonaux réguliers semblables, Tun inscrit, Vautre circonscrit au secteur circulaire. Si l'on désigne par a et a' les apothèmes des deux secteurs polygonaux , le rapport des volumes engendrés par la rotation de ces secteurs autour dd Taxe xf est (804)
n aireABCD ^''aireA'B'C'iy'
Mais, lorsqu'on fait tendre vers zéro les côtés de la ligne brisée régulière ABCD, suivant une loi d'ailleurs quelconque, les deux facteurs du produit qu'on vient d'écrire tendent l'un et l'autre vers runité(290,793). Donc, le rapport des volumes engendrés par les deux secteurs polygonaux a l'unité pour limite et, par suite, il en est de même à fortiori du rapport du volume du secteur sphérique engendré par le secteur circulaire AOD au volume décrit par chacun dos secteurs polygonaux qui le comprennent. Donc enfin :
Le volume ri'un secteur sphérique est la limite commune des volumes engendrés par des secteurs polygonmix réguliers semblables inscrit et circonscrit au secteur circulaire correspondant, lorsqiCon fait croître indéfiniment le nombre des côtés de leurs bases,
THÉORÈME
806. Le volume d'un secteur sphérique a pour mesure le produit de Vaire de la zone qui lui sert de base par le tiers du rayon de la sphère.
I^e volume d'un secteur «sphérique est la limite des volumes engendrés par les secteurs polygonaux réguliers inscrits dans le secieur circulaire correspondant, quand on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de leurs bases. D'après cela, soient v le volume engendré par un secteur polygonal régulier inscrit, f Taire de la surface décrite par sa base, a son apothème; soient de même V le volume du secteur sphérique, S Taire de la zone qui lui sert de base, R le rayon de la sphère. On a ( 804 )
Mais lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés de la base du secteur polygonal, v tend vers V, s vers S et a vers R. On a donc, à la limite,
Corollaires.
807. Dans des sphères égales, deux secieurs sphériques sont entre eux comme les zones qui leur servent de bases, ci, par suite, deux secteurs sphériques dont les bases ont même hauteur sont équivalents.
THÉORÈME
808. Le volume de la sphère a pour mesure le produit de son aire par le tiers*du rayon.
Car ce volume peut être considéré comme celui d'un secteur spiiérique ayant pour secieur circulaire correspondant un demi-cercle ou pour base Taire de la surface sphérique ellemême. IVailleurs, le raisonnement fait pour le secteur sphérique s'applique textuellement à ce cas particulier.
Corollaires.
809. V élant le volume d'une sphère de rayon H ou de diamètre D, on a
810. Les volumes de deux sphères sont entre eux comme les cubes des rayons ou des diamètres.
