AOB < BOC -4- GOD + DO A

Donc (136)

arc AB < arcBC -h arc CD -f- arcDA.

SCOLIES

821. Dans tout triangle sphérique ABC {Jlg. 435). à un plus grand angle est opposé un plus grand côté.

Cela résulte de la propriété analogue de l'angle trièdre(568 ). On peut aussi le démontrer comme pour le triangle rectiligne (36, 2^). Soit l'angle ABC plus grand que l'angle C; on pourra mener dans l'angle ABC un arc de grand cercle BD qui fasse avec BC un angle DBC égal à l'angle C. Le triangle BDC ayant deux angles égaux DBC, DCB, sera isocèle (819), et l'on aura BD = DC. Or, le triangle ABD donne (820)

AB<AD-hBD

et, en remplaçant le côté BD par son égal DC,

AB < AD 4- DC ou AB < AC.

En rapprochant ce théorème de celui qui a été démontré au n"* 819 (S**), et en raisonnant comme au n"" 37, on voit que : réciproquementy si un triangle sphérique est isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux , et si un triangle spké* rique a deux côtés inégaux^ au plus grand côté est opposé le plus grand angle.

822. De ce qu'un triangle sphérique isocèle est superposable à son symétrique, il résulte, comme au n" 38, que dans tout triangle sphérique isocèle V arc de grand cercle qui joint le sommet au milieu de la base est perpendiculaire sur cette base et divise l * angle au sommet en deux parties égales.