LIVRE Vil. — LES CORPS RONDS. l

aux n"^ 3I9 32 et 33, s'appliquent au triangle sphériqùe et se démontrent de même; il suffît de remplacer le moi droite par les mots arc de grand cercle.

Fig. 435. Fig. 436.

THÉORÈME

824. Dans tout polygone sphériqùe convexe» la somme des calés est moindre qu'une circonférence.

Car la somme des faces de Tangle polyèdre correspondant est moindre que quatre angles droits (570).

La démonstration directe est d'ailleurs facile. Considérons d'abord un triangle sphériqùe ABC (Jig. 4^^)» cl prolongeons les côtés AB et AC jusqu'à leur rencontre A' ; les deux arcs ABA', ACA', sont des demi-circonférences de grand cercle( 765), et comme dans le triangle BCA' le côté BC est moindre que BA' -h CA', la somme AB -f- AC 4- BC des côtés du triangle ABC est inférieure à ABA' -h ACA', c'est-à-dire à une circonférence de grand cercle.

£n opérant d'une manière analogue sur un polygone, c'està-dire en remplaçant un côté par les prolongements des deux qui lui sont adjacents, on voit que si la proposition est vraie pour un polygone convexe, elle subsiste pour le polygone convexe qui a un côté de plus; donc elle est générale.

825. Si un trùwgla sphériqùe A'B'C est le triangle fHtlaire d'un tritwgle sphériqùe donné ABC, réciproquement ABC sera le triangle jxtlaire de ABC.

Pour bien comprendre la définition du triangle polaire et l'objet du présent théorème, il convient de faire une remarque.

Soient EIF un grand cercle (Jig. 437), P l'un de ses pôles, et M un point quelconque de la sphère. Si P et M sont d'un même côté du grand cercle EF, le plus petit arc de grand cercle qui va de P en M est moindre qu'un quadrant PI. Si P et M sont de part et d'autre du grand cercle EF,

l86. GfiOMÉTRIB DANS L* ESPACE.

le plus petit arc de grand cercle allant de P en M est supérieur a un

quadrant.

Fig. 437. Fig. 438.

Gela posé, on nomme triangle polaire d'un triangle sphérique ABC un nouveau triangle A'B'C (^^. 4^8) dont les sommets sont défmis de la manière suivante : A' est celui des deux pôles du grand cercle BG qui est par rapport à ce grand cercle du même côté que le sommet opposé A ; de même B' est le pôle de ÂG qui est situé par rapport à AG du même côt« que B, et G' est le pôle de AB qui est placé par rapport à AB du même côté que G.

Il s'agit de démontrer que, réciproquement, le triangle A6G est le triangle polaire de A'B'G'. A cet effet, considérons Tun quelconque de ses sommets, G par exemple; A' étant le pôle de BG, Tare de grand cercle qui joindrait G et A' est un quadrant; de même Tare de grand cercle CB' est un quadrant, puisque B' est le pôle de AG. Donc, le point G (787) est le pôle de A'B'. De plus, puisque G' est le pôle de AB, qui se trouve par rapporta AB du même côté que G, le plus petit arc de grand cercle allant de G en G' est moindre quun quadrant; par suite, G est le pôle de A'B' qui se trouve par rapport à A'B' du môme côté que G'.

SCOUE.

826. D'après cela, le triangle polaire A'B'G' d'un triangle donné ABC peut être considéré comme obtenu en décrivant des sommets A, B, G, pris successivement pour pôles, trois circonférences de grand cercle. Ces trois circonférences divisent la surface de la sphère {fig. 438] en huit triangles, dont L'un A'B'G! est le triangle polaire de ABC. C'est celui qui est tel, que les sommets A et A' soient d'un même côté par rapport à BC, les sommets B et B' d'un même côté par rapport à AG, et les sommets C et G' d'un même côté par rapport à AB.

Les deux trièdres OABG, OA'B'G', qui répondent à deux triangles polaires ABC, A'B'G', sont supplémenUiires (57:2). £n effet, d'après la construction du point G', on voit que l'arête OG', par exemple, est perpendiculaire ( 768) au plan AOB et située par rapport à ce plan du même côté que OG : on raisonnerait de même pour les autres arêtes OB' et OA'. Chaque angle de l'un des triangles ABC, A'B'G', doit donc (573) être le supplément du côté opposé dans l'autre triangle. Mais cette propriété, en vertu de laquelle