LIVRE VII. — LES CORPS RONDS

deux triangles polaires sont aussi appelés tn/tngies supplémentaires, mérite d'être démontrée directement; c'est là lobjet du théorème qui suit.

THÉORÈME

827. Si ABC, A'B'C, sont dcujr triangles polaires , charpie angle de Cun tle ces triangles a ptmr mesure une demi-circonférence de grand cercle^ moins le côté opposé dans Vautre triangle [fig, 439).

Fig. 439* Fig. 440. Fig. /|4i

t En eflfet, considérons, par exemple, l'angle A et prolongeons, s'il lo faut, les côtés AB et AG jusqu'à la rencontre de Tare B'C; puisque A est le pôle de B'C, l'angle A a pour mesure l'arc DE (772); mais on a évidemment

DE = B'E-hDC'-B'C.

D'ailleurs B'E et DC' sont des quadrants, puisque B' est le pôle de AC et C le pôle de AB. On a donc

DE = - cire, de grand cercle ~ B'C

On procéderait de la môme manière pour les angles B et C.

Les triangles ABC et A'B'C résultant l'un de l'autre par la même construction (821)), la propriété que nous venons de démontrer pour les angles A, B, C, du premier triangle convient aux angles A', B', €', du second. On prouverait d'ailleurs directement que l'angle A', par exemple, a pour mesure le supplément de BC, en prolongeant BC jusqu'à la rencontre do A'B'etdeA'C.

SCOLIE

828. Les propriétés des triangles polaires s'étendent aux polygones et aux courbes spliériques.

Soit (^^.440) un polygone sphérique convexe ÀBCDE; prenons, des deux pôles de l'arc de grand cercle EA, celui qui, par rapport à EA, est dans le môme hémisphère que le polygone ABCDE ; prenons d une manière analogue les pôles B', C, D', E', des côtés AB, BC, CD, DE. Le polygone A'B'C D'E' sera le polygone //r;to/>e du proposé, et l'on démontrera, comme aux n* 825 et 827 : i** que, si un polygone sphérique A' B'C D'E' est le

l88. GÉOMtTRIB PAN8 L* ESPACE.

polygone polaire d'un polygone donné ÂBCDE, réciproquement ÂBCDE est le polygone polaire de A'B'C'D'E'; a** que, dans deux polygones polaires, tout angle de l'un est le supplément du côté de iautre dont le sommet de l'angle considéré est le pôle.

829. On appelle arc de grand cercle tangent en un point M d'une courbe sphérique ÂMN [fig, 44 1 ) 1& limite des positions que prend le grand cercle mené par le point M et un point voisin N, lorsque ce second point N de la courbe tend vers le premier. Une courbe sphérique est convexe si le grand cercle tangent en Fun quelconque de ses points laisse la courbe tout entière dans un seul hémisphère (816). Une courbe sphérique convexe ne saurait être rencontrée par un grand cercle en plus de deux points; et, des deux arcs de grand cercle qui joignent deux points quelconques de la courbe, le plus petit, c'est-à-dire celui qui est moindre qu'une demi-circonférence, est à 17/î/^>/Var de la courbe.

Cela posé, soit A' M' [fig. 44 0 une courbe sphérique convexe ; en un point quelconque M' de cette courbe, menons le grand cercle tangent et prenons le pôle M de ce cercle qui est dans le même hémisphère que la courbe A' M'; le lieu des points M est la courbe polaire AM de A' M'. Inversement, la courbe A'M' est la courbe polaire de AM; en d'autres termes, le point M' est le pôle de Tare de grand cercle tangent en M à la courbe AM; car si N est le pôle de Tare de grand cercle N'T' tangent à la courbe A' M' en un i>oint N' voisin de M', le point T' sera le pôle (787 ) de Tare sécant BIN, et quand ce dernier arc deviendra tangent en M, le point T' se confondra avec M'. Ainsi, les points M et M' des deux courbes se correspondent deux à deux, de telle sorte que le point M soit le pôle de Tare de grand cercle tangent en M' et que le point M' soit le pôle de l'arc de grand cercle tangent en M.

Deux figures sphériques polaires sont des figures corrélatives; à tout point de l'une répond un arc de grand cercle dans l'autre, de telle sorte que. si trois points de la première sont sur un même grand cercle, les trois arcs de grand cercle correspondants de la seconde passent par un même point, pôle de ce grand cercle. Tout théorème en engendre immédiatement un autre; et c'est même cette corrélation des figures sphériques qui a suggéré l'idée du principe général de dualité.

Corollaire.

830. Dans tout triangle sphérique : \^ la somme des angles est comprise entre deux et six angles droits; a** le plus petit angle augmenté de deux droits surpasse la somme des deux autres.

La démonstration est la même que pour les angles trièdres (575), et les propriétés énoncées peuvent être elles-mêmes considérées comme une conséquence des propriétés correspondantes des trièdres.

Il résulte de là qu'un triangle sphérique peut être rectangle, bi-rectangle,

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tri-rectangle; c'esl-à-dire qu'il peut avoir un, deux ou trois angles droits; ses trois angles peuvent même être à la fois obtus.

Dans tout triangle bi-rectangle, le sommet de l'angle qui n'est pas droit est le pôle (787) du côté opposé, et les côtés qui comprennent cet angle sont des quadrants.

Dans le triangle Iri-reclangle, tous les côtés sont des quadrants; sur la même sphère, tous les triangles tri -rectangles sont égaux; un tel triangle esi le huitième de la sphère. C'est ce qu'on voit «en menant trois grands cercles perpendiculaires entre eux deux à deux.

831 . Deux triangles sphériqucs tracés sur la même sphère ou sur des sphères égales sont égaux dans toutes leurs parties : i° lorsqu'ils ont un eâié égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun; a** lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux cliacun à c/iacun; y* lorsqu'ils ont les côtés égaux chacun à c/iacun; 4* lorsqu'ils ont les angles égaux chacun à cliacun. ~ Dans tous les cas, ils sont égaux ou symétriquesy suivant que la disposition des éléments donnés est la même ou est inverse ,

Ce théorème est une conséquence des propriétés analogues (577, 578) des angles trièdres. On peut aussi le démontrer directement.

Supposons d'abord que la disposition des éléments soit la même dans les deux triangles, on démontrera l'égalité pour les trois premiers cas en raisonnant comme au n*" 34 de la Géométrie plane. Quant au quatrième caSy il résulte du troisième par la considération du triangle polaire (827). Remarquons en outre que les deux premiers cas sont aussi corrélatifs l'uu de l'autre.

Si la disposition des éléments données est inverse, le premier triangle et le symétrique du second présenteront la même disposition : ils seront donc égaux en vertu des données; par suite, les triangles proposés seront symétriques.

SCOLIE

832. Un trièdre, dont le sommet est placé au centre de deux sphères concentriques, détermine évidemment sur ces sphères deux triangles sphériques dont les angles sont respectivement égaux et les côtés proportionnels. Djux triangles sphériques de cette nature sont dits semblables.

THÉORÈME

833. Deux triangles sphériques symétriques ABC, A'B'C, sont équivalents (Jig, 44^).

Prenons le pôle P du petit cercle qui passerait par les points A, B, C, et menons les arcs de grand cercle PA, PB, PC, qui

sont égaux entre eux (769). Traçons le diamètre POP' el les arcs de grand cercle FA', P'B', P'C. L'égalité des angles PDA, P'OA', entraîne celle des arcs PA et P' A'; on voit de même que PB = P'B', et PC= P' C; par suite, comme PA=:PB = PC, il faut qu'on ait P'A' = P'B' = P'C. D'après cela, les triangles PAB, P'A'B', sont symétriques el isocèles; ils sont donc superposables. De même les triangles PAC, P'A' C, sont égaux entre eux, ainsi que les triangles PBC, P'B'C. Donc enfin, le triangle ABC, somme de PAB, PAC et PBC, est équivalent au triangle A'B'C, somme de P'A'B',P'A'C' et P'B'C.

Si le pôle P tombait à Textérieur du triangle ABC, ce triangle ne serait plus une somme mais une différence.

Fi(T. 44a.

Fie. 443.

Corollaire.

834. Si deux arcs de grand cercle AC'A', BC'B', se coupent dans un même hémisphère C'ABA'B', la somme des triangles opposés AC'B, A'C'B', est égale au fuseau dont V angle est

ACB(y?gr.443).

On r\ommQ fuseau la portion de surface sphérique comprise entre deux demi-grands cercles C\C', CBC, qui se terminent à un diamètre commun COC; l'angle ACB ou AC B de ces deux arcs est dit V angle du fuseau.

Cela étant,' le fuseau compris entre CAC et CBC se compose du triangle ABC et du triangle ABC ; et, comme le triangle A'B'C est évidemment le symétrique de ABC et que deux triangles symétriques sont équivalents, on voit que le fuseau dont l'angle est C est égal à la somme des triangles opposés