S ::= - = —, TT TT
S' élant le nombre qui mesure Taire du triangle dans ce nouveau système d'unités. On a donc enfin (837), à cause de la formule (i),
S'=A'-HB'-+-C'~ir.
Qn donne à ce nombre abstrait A'-hB'-=hC'— « le nom d'exrês sphérique du triangle..
THÉORÈME
840. Si Von prend V angle droit pour unité d'angle et le triangle trirectangle pour unité d'aire, Vaire (Cun fjolygone sphérique de n côtés a pour mesure la somme des nombres qui mesurent ses angles, diminuée de 1 (/? — a).
On arrive à ce résultat en décomposant le polygone en triangles à Taide d'arcs de grand cercle diagonaux issus d'un môme sommet, et en appliquant la formule (i] du n** 837 aux (n — i) triangles ainsi obtenus.
SCOLIE
84i. Soient, dans le système d'unités adopté, S, Â,, A,. . . . , A,, les mesures de Taire et des angles d'un polygone sphérique convexe de n côtés: on aura
S =^ (A, -f- A, -4-. . .-h AJ — a (/ï - î).
Désignons par /7,, /?,, . . . , a^, les nombres qui mesurent les côtés du polygone polaire (828), en prenant pour unité de longueur le quart de la circonférence d'un grand cercle; on aura
A, = a — flf,, A,-=a — r/„...., A, -- a - a,,
et, par suite,
ou enfin, en désignant par p le périmètre du polygone polaire,
Ainsi, Vaire d'un polygone sphérique convexe est égale à 4 moins le périmètre du polygone polaire; cette relation mérite d'être remarquée.
THÉORÈME
842. Le volume d'une pyramide sphérique a pour mesure le produit de sa base par le tiers du rayon de la sphère.
Une pyramide sphérique est la portion du volume de la
LIVRB Vil. ~ LBS C0RP8 RONDS. 195.
sphère comprise entre les faces d*un angle polyèdre dont le sommet est au centre de ia sphère; le polygone sphérique correspondant à cet angle polyèdre est la base de la pyramide. Deux pyramides sphériques soht dites symétriques lorsqu'elles ont pour bases des polygones sphériques symétriques.
On appelle onglet la portion du volume de la sphère comprise entre deux demi-grands cercles CAC, CBC {jig. 443): le fuseau C'ACBC est la base de Tonglet, et son angle est Vangle de Tonglet.
On démontre que :
I** Deux pyramides sphériques triangulaires symétriques sont équivalentes (833);
2** Si Von prend pour unité d* angle V angle droit, et pour unité de volume la pyramide tri-rectangle qui est le huitième du volume de la sphère^ un onglet a pour mesure le double du nombre qui mesure son angle ( 835 ) ;
3® Dans le même système d* unités y le volume d 'une pyramide sphérique triangulaire a pour mesure le nombre A -f B -h C — a, A, B, G, étant les mesures des angles du triangle sphérique qui sert de base à la pyramide (837).
Il résulte de là que le rapport du volume d'une pyramide sphérique triangulaire à Taire de sa base est égal au rapport de la pyramide sphérique tri-rectangle au triangle tri-rectangle; mais ce dernier rapport est égal à. celui du volume de la sphère à son aire, c'est-à-dire au tiers du rayon. Donc, le volume de la pyramide sphérique triangulaire est égal au produit de sa base par le tiers du rayon. El ce théorèmp s'étend à la pyramide sphérique polygonale, en décomposant sa base en triangles.
THÉORÈME
843. Le plàs court chemin d'un point à un autre sur la surface de la sphère est l'arc de grand cercle, moindre qu'une demi-circonférence, qui joint ces deux points.
1° Il faut, avant toul, définir la hngnciir dUin arc de courbe tracée sur la sphère.
« Concevons que, dans un arc de courbe sphérique AB [fig. 445), on » inscrive une suite de polygones sphériques se déduisant les uns des au*- 0 très d'après une loi arbitraire mais bien déterminée, et telle, que le r> plus grand côté des polvgonos inscrits aille continuellement en décrois-
I9&. GÉOHftTRIB BANS l' ESPACE.
» sant jusqu'à zéro, ce qui exige que le nombre des côtés de ces polygones » croisse au delà de toute limite. Prenons seulement dans chaque poly- » gone la portion inscrite dans l'arc AB, c'est-à-dire la portion correspon- » danle aux sommets /i, ^. .., u^ compris entre A et B : la longueur de » l'arc AB est, par définition^ la limite vers laquelle tendent les périmè- » très de ces portions de polygones.
» Pour légitimer cette définition, il faut prouver que cette limite existe » et qu'elle est indépendante de la loi suivant laquelle varient les polygones » inscrits.
» D'abord, on peut toujours supposer l'arc AB convexe; sans quoi, on » le décomposerait en plusieurs arcs convexes, et la proposition une fois » démontrée pour les arcs partiels s'étendrait à l'arc total.
» Gela posé, soit hk. . .u la portion d'un polygone sphérique inscrite daii< » l'arc AB; en joignant les sommets extrêmes h et u par un arc de grand » cercle hvu moindre qu'une demi-circonférence, nous formerons on po- » lygone sphérique convexe M.. . uvh que nous désignerons par P. Construi- » sons le polygone sphérique P' polaire de P ( 8â8 ) ; la mesure du périmètre » de P, évaluée en prenant un quadrant pour unité, sera égale à 4 dimi- » nué de la mesure de l'aire du polygone P' évaluée en prenant le triangle » tri-rectangle pour unité d'aire (841 ). Mais le périmètre de P se compose « du périmètre de la portion M. . .« de polygone inscrite dans Parc AB.
Fîg. «5.
^ plus l'arc hvu qui, à la limite, devient l'arc de grand cercle moindre » qu'une demi-circonférence joignant le point A au point B ; il suffit donc » de démontrer que Taire du polygone P' tend vers une limite bien dé- » terminée et indépendante de la loi suivant laquelle varient les polygones » inscrits dans la courbe AB. Or, soient co le pôle de l'arc de grand cercle » AB et cA le lieu des pôles des arcs de grand cercle tangents à la courbe » AB en tous les points compris entre A et B; le sommet de P' corres- » pondant au côté hvu tend vers le point u (829), et tous les autres som- » mets de P' tendent vers les différents points de a6, depuis a jusqu'à €; » donc, Taire deP' tend vers Taire de la figure limitée par a6 et par les » arcs de grands cercles wa et w6 (*). »
(") Cette démonstration nous a été cumniiiniqitèe par M. O. Bonnet.
LlVBfi VII, — LES CORPS RONDS. 197.
2"* i est maintenant trôs-facile de trouver le plus court chemin entre deux points A et B sur la surface de la sphère (^. 446).
Soient AMB Tare de grand cercle, moindre qu'une demicirconférence, qui unit les points A et B, et AEFGIB une
Fig. 446.
courbe sphérique quelconque tracée entre ces deux points. AEFGIB étant une portion de polygone sphérique inscrite dans cette courbe, on aura (820)
AMB < AE-hEF-h FG-f. Gl 4- IB.
Or, si l'on fait tendre vers zéro les côtés du polygone inscrit, le second membre a pour limite (i") la longueur de Tare de courbe AEFGIB. Donc, Tare de grand cercle AMB est moindre que toute autre courbe sphérique allant de A en B; c'est le plus court chemin du point A au point B sur la sphère.
844. Si, dUtn point 0 de la sphère, on mène sur un grand cerclé AB l*arc de grand cercle 01 perpendiculaire et moindre qu'un quadrant, et plusieurs arcs de grand cercle obliques OC, OD, OE (fig' 447 ) •
i" L'arc perpendiculaire 01 est moindre que tout arc oblique OC;
a* Deux arcs obliques OC et OE, dont les pieels CetE sont êquidisiants du pied I de rare perpencliculaire, sont égaux;
V De deux arcs obliques OC et OH^ou OC ^r OE, celui dont le pied s* écarte le plitt du pied I dr l^arc perpendiculaire est le plus long.
Observons d'abord que du point 0 on peut mener un grand cercle, et un seul, qui soit perpendiculaire à AB; c'est celui qui passe par le point 0
19^. GÉOMtTKIK DANS l'bSPàGB.
et par le pôle P du grand cercle ÂB (77i). Par suite, da point O on peut mener dans rhémisphère OAB deux arcs de grands cercles perpendiculaires à AB : l'un 01 moindre qu'un quadrant, Tautre OPI' plus grand qu'un quadrant. C'est de Tare 01 qu*il est question dans le théorème énoncé. La démonstration de ce théorème est d'ailleurs identique à celle du n"* 4i de la Géométrie plane; nous avons même employé les mêmes lettres aGn que le texte de ce numéro pût servir ; seulement, les triangles qui interviennent dans la démonstration sont ici symétriques au lieu d*ètre égaux.
GOROLIJIIBES.
845. Varc de grand cercle 01, moindre qu'un quadrant y mené du point 0 à angle droit sur un grand cercle AB, est la ligne la plus courte que i''on puisse tracer sur la sphère du point 0 au grand cercle AB (843, 814}: nous donnerons, d'après cela, à cet arc 01 le nom de distance sp/tériqste du point 0 au grand cercle AB.
L'arc OPr est le plus long de tous les arcs de grand cercle qui vont du point 0 au grand cercle AB, dans l'hémisphère OAB.
Les réciproques des propositions précédentes sont vraies (40).
Le lieu géométrique des points de la sphère équidistants tle deux points de cette surface y est le grand cercle perpendiculaire sur le milieu de rare de grand cercle qui unit les deux points (48).
Deux triangles sphériques rectangles sont égaux ou symétriqnes : I® lorsqu'ils ont Vhypoténuse égale et un angle oblique égal; a* /orrqu'ils ont l'hypoténuse égale et un c^té égal (50).
L'arc de grand cercle bissecteur de l'angle de deux grands cercles est le lieu des points de la sphère équidistants des deux côtés de cet angle { 53 ).
